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  3. 设f(x)是[0，1]上单调减少的正值连续函数，证明

设f(x)是[0，1]上单调减少的正值连续函数，证明

admin2019-02-20  46
问题 设f(x)是[0，1]上单调减少的正值连续函数，证明
         
选项
答案记[*]则由定积分与积分变量所用字母无关，有 [*] 其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}． 由于积分区域D关于直线y=x对称，又有[*] 由①式与②式相加，得[*] 由于f(x)单调减少，所以I≥0，即[*] 又f(x)取正值，故[*]除(*)式，不等式得证．
解析 由于f(x)是正值函数，故欲证不等式可改写成
         
    即要证
         
    可将两个定积分的乘积转换成二重积分，并利用积分区域的对称性来证明．
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考研数学三

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