2. 考研
  3. 设3阶方阵A的特征值λ1，λ2，λ3互不相同，α1，α2，α3依次为对应于λ1，λ2，λ3的特征向量，则向量组α1，A(α1+α2)，A2(α1+α2+α3)线性无关的充分必要条件是λ1，λ2，λ3满足_______．

设3阶方阵A的特征值λ1，λ2，λ3互不相同，α1，α2，α3依次为对应于λ1，λ2，λ3的特征向量，则向量组α1，A(α1+α2)，A2(α1+α2+α3)线性无关的充分必要条件是λ1，λ2，λ3满足_______．

admin2020-05-16  74
问题 设3阶方阵A的特征值λ1，λ2，λ3互不相同，α1，α2，α3依次为对应于λ1，λ2，λ3的特征向量，则向量组α1，A(α1+α2)，A2(α1+α2+α3)线性无关的充分必要条件是λ1，λ2，λ3满足_______．
选项
答案λ2λ3≠0．
解析 设k1α1+k2A(α1+α2)+k3A2(α1+α2+α3)=0，由Aαj=λjαj(j=1，2，3)，得k3α3+k2(λ1α1+λ2α2)+k3(λ21α1+λ22α2+λ23α3)=0，即(k1+λ1k3+λ21k3)α1+(λ2k2+λ22k3)α2+(λ23k3)α3=0，因属于不同特征值的特征向量线性无关，得齐次线性方程组
    故向量组α1，A(α1+α2)，A2(α1+α2+α3)线性无关<=>方程组(*)只有零解<=>方程组(*)的系数行列式△=λ2λ23≠0，故所求条件为λ2λ3≠0．
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考研数学三

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