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设对任意分片光滑的有向闭合曲面片S,均有其中f(x)在(一∞,+∞)内具有连续的二阶导数。求f(x)。
设对任意分片光滑的有向闭合曲面片S,均有其中f(x)在(一∞,+∞)内具有连续的二阶导数。求f(x)。
admin
2019-11-05
30
问题
设对任意分片光滑的有向闭合曲面片S,均有
其中f(x)在(一∞,+∞)内具有连续的二阶导数。求f(x)。
选项
答案
令p(x,y)=(y+1)f’(x),Q(x,y)=(y-y
2
)f(x),R(x,y)=zyf’(x)-2ze
x
,由于f(x)在(一∞,+∞)内具有连续的二阶导数,故P(x,y),Q(x,y),R(x,y)均具有一阶连续偏导,由高斯公式可知, [*] 其中,Ω是由闭合曲面S所围成的区域,由区域Ω的任意性可知,(y+1)f”(x)+(1-2y)f(x)+yf’(x)-2e
x
=0, 即 y[f”(x)+f’(x)-2f(x)]+[f”(x)+f(x)-2e
x
]=0, 则有f”(x)+f’(x)-2f(x)=0, ① f”(x)+f(x)-2e
x
=0 ② 求解微分方程①,得f(x)=C
1
e
x
+C
2
e
-2x
,则该通解同样满足微分方程②,代入可得C
1
=1,C
2
=0,故f(x)=e
x
。
解析
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0
考研数学一
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