设对任意分片光滑的有向闭合曲面片S，均有其中f(x)在(一∞，+∞)内具有连续的二阶导数。求f(x)。

admin2019-11-05 24

问题设对任意分片光滑的有向闭合曲面片S，均有

其中f(x)在(一∞，+∞)内具有连续的二阶导数。求f(x)。

选项

答案令p(x，y)＝(y+1)f’(x)，Q(x，y)＝(y－y²)f(x)，R(x，y)＝zyf’(x)－2ze^x，由于f(x)在(一∞，+∞)内具有连续的二阶导数，故P(x，y)，Q(x，y)，R(x，y)均具有一阶连续偏导，由高斯公式可知， [*] 其中，Ω是由闭合曲面S所围成的区域，由区域Ω的任意性可知，(y＋1)f”(x)＋(1－2y)f(x)＋yf’(x)－2e^x＝0，即 y[f”(x)＋f’(x)－2f(x)]＋[f”(x)＋f(x)－2e^x]＝0，则有f”(x)＋f’(x)－2f(x)＝0， ① f”(x)＋f(x)－2e^x＝0 ② 求解微分方程①，得f(x)＝C₁e^x+C₂e^－2x，则该通解同样满足微分方程②，代入可得C₁＝1，C₂＝0，故f(x)＝e^x。

解析

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考研数学一

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设对任意分片光滑的有向闭合曲面片S，均有其中f(x)在(一∞，+∞)内具有连续的二阶导数。求f(x)。

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