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设二次型F(x1,x2,x3)=x1+ax2+x3+2x2x3-2x1x-2axx3的正负惯性指数都是1. (Ⅰ)计算a的值; (Ⅱ)用正交变换将二次型化为标准形; (Ⅲ)当x满足xTx=2时,求f的最大值与最小值.
设二次型F(x1,x2,x3)=x1+ax2+x3+2x2x3-2x1x-2axx3的正负惯性指数都是1. (Ⅰ)计算a的值; (Ⅱ)用正交变换将二次型化为标准形; (Ⅲ)当x满足xTx=2时,求f的最大值与最小值.
admin
2019-12-23
35
问题
设二次型F(x
1
,x
2
,x
3
)=x
1
+ax
2
+x
3
+2x
2
x
3
-2x
1
x-2axx
3
的正负惯性指数都是1.
(Ⅰ)计算a的值;
(Ⅱ)用正交变换将二次型化为标准形;
(Ⅲ)当x满足x
T
x=2时,求f的最大值与最小值.
选项
答案
由|λE-A|=[*]=(λ-2)(λ-1)(λ+1), 得A的特征值为2,1,-1.因此A相似于[*] 进而求得对应于2,1,-1的特征向量分别为 [*] 令P=(η
1
,η
2
,η
3
),则有P
-1
AP=[*] 又因为B是下三角矩阵,所以特征值为2,1,-1.B也相似于[*] 进而求得对应2,1,-1的特征向量分别为ξ
1
=[*] 令Q(ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
),则Q
-1
BQ=[*] 因此P
-1
AP=Q
-1
BQ,所以B=QP
-1
APQ
-1
=(PQ
-1
)
-1
A(PQ
-1
), 令X=PQ
-1
=[*]即为所求.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/PXS4777K
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考研数学一
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