设二次型F(x1，x2，x3)=x1+ax2+x3+2x2x3-2x1x-2axx3的正负惯性指数都是1． (Ⅰ)计算a的值； (Ⅱ)用正交变换将二次型化为标准形； (Ⅲ)当x满足xTx=2时，求f的最大值与最小值．

admin2019-12-23 27

问题设二次型F(x₁，x₂，x₃)=x₁+ax₂+x₃+2x₂x₃-2x₁x-2axx₃的正负惯性指数都是1．
(Ⅰ)计算a的值；
(Ⅱ)用正交变换将二次型化为标准形；
(Ⅲ)当x满足x^Tx=2时，求f的最大值与最小值．

选项

答案由｜λE-A｜=[*]=(λ-2)(λ-1)(λ+1)，得A的特征值为2，1，-1．因此A相似于[*] 进而求得对应于2，1，-1的特征向量分别为 [*] 令P=(η₁，η₂，η₃)，则有P^-1AP=[*] 又因为B是下三角矩阵，所以特征值为2，1，-1．B也相似于[*] 进而求得对应2，1，-1的特征向量分别为ξ₁=[*] 令Q(ξ₁，ξ₂，ξ₃)，则Q^-1BQ=[*] 因此P^-1AP=Q^-1BQ，所以B=QP^-1APQ^-1=(PQ^-1)^-1A(PQ^-1)，令X=PQ^-1=[*]即为所求．

解析

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考研数学一

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设二次型F(x1，x2，x3)=x1+ax2+x3+2x2x3-2x1x-2axx3的正负惯性指数都是1． (Ⅰ)计算a的值； (Ⅱ)用正交变换将二次型化为标准形； (Ⅲ)当x满足xTx=2时，求f的最大值与最小值．

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