2. 考研
  3. 设二次型F(x1，x2，x3)=x1+ax2+x3+2x2x3-2x1x-2axx3的正负惯性指数都是1． (Ⅰ)计算a的值； (Ⅱ)用正交变换将二次型化为标准形； (Ⅲ)当x满足xTx=2时，求f的最大值与最小值．

设二次型F(x1，x2，x3)=x1+ax2+x3+2x2x3-2x1x-2axx3的正负惯性指数都是1． (Ⅰ)计算a的值； (Ⅱ)用正交变换将二次型化为标准形； (Ⅲ)当x满足xTx=2时，求f的最大值与最小值．

admin2019-12-23  33
问题 设二次型F(x1，x2，x3)=x1+ax2+x3+2x2x3-2x1x-2axx3的正负惯性指数都是1．
(Ⅰ)计算a的值；
(Ⅱ)用正交变换将二次型化为标准形；
(Ⅲ)当x满足xTx=2时，求f的最大值与最小值．
选项
答案由｜λE-A｜=[*]=(λ-2)(λ-1)(λ+1)， 得A的特征值为2，1，-1．因此A相似于[*] 进而求得对应于2，1，-1的特征向量分别为 [*] 令P=(η1，η2，η3)，则有P-1AP=[*] 又因为B是下三角矩阵，所以特征值为2，1，-1．B也相似于[*] 进而求得对应2，1，-1的特征向量分别为ξ1=[*] 令Q(ξ1，ξ2，ξ3)，则Q-1BQ=[*] 因此P-1AP=Q-1BQ，所以B=QP-1APQ-1=(PQ-1)-1A(PQ-1)， 令X=PQ-1=[*]即为所求．
解析
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考研数学一

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