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考研
设a1＜a2＜…
设a1＜a2＜…
admin
2019-02-23
2
问题
设a
1
＜a
2
＜…
n，且函数f(x)在[a
1
，a
2
]上n阶可导，c∈[a
1
，a
2
]且f(a
1
)=f(a
2
)=…=f(a
n
)=0．证明：存在ξ∈(a
1
，a
n
)，使得
选项
答案
当c=a
i
(i=1，2，…，n)时，对任意的ξ∈(a
1
，a
n
)，结论成立； 设c为异于a
1
，a
2
，…，a
n
的数，不妨设a
1
＜c＜a
2
＜…＜a
n
． 令k=[*] 构造辅助函数φ(x)=f(x)-k(x-a
1
)(x-a
2
)…(x-a
n
)，显然φ(x)在[a
1
，a
n
]上n阶可导，且φ(a
1
)=φ(c)=φ(a
2
)=…=φ(a
n
)=0， 由罗尔定理，存在[*]，φ’(x)在(a
1
，a
n
)内至少有n个不同零点，重复使用罗尔定理，则φ
(n-1)
(x)在(a
1
，a
n
)内至少有两个不同零点，设为c
1
，c
2
∈(a
1
，a
n
)，使得φ
(n-1)
(c
1
)=φ
(n-1)
(c
2
)=0，再由罗尔定理，存在ξ∈(c
1
，c
2
)[*](a
1
，a
2
)，使得φ
(n)
(ξ)=0． 而φ
(n)
(x)=f
(n)
(x)-n!k，所以f(ξ)=n!k，从而有 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/PYj4777K
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考研数学二
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