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  3. 已知非齐次线性方程组 有3个线性无关的解． (1)证明方程组系数矩阵A的秩，r(A)=2： (2)求a，b的值及方程组的通解．

已知非齐次线性方程组 有3个线性无关的解． (1)证明方程组系数矩阵A的秩，r(A)=2： (2)求a，b的值及方程组的通解．

admin2017-04-24  75
问题 已知非齐次线性方程组

有3个线性无关的解．
(1)证明方程组系数矩阵A的秩，r(A)=2：
(2)求a，b的值及方程组的通解．
选项
答案 (1)设ξ1，ξ2，ξ3是该方程组的3个线性无关的解，则由解的性质知α1=ξ1 一ξ2，α2=ξ1一ξ3是对应齐次线性方程组Ax=0的两个解，且由 [α1，α2]=[ξ1，ξ2，ξ3][*] 及ξ1，ξ2，ξ3线性无关，易知向量组α1，α2线性无关，故齐次线性方程组Ax=0的基础解系至少含2个向量，即4一r(A)≥2，得r(A)≤2，又显然有r(A)≥2(A中存在2阶非零子式[*]=一1，或由A的前2行线性无关)，于是有r(A)=2． [*] 因r(A)=2，故有 4一2a=0，4a+b一5=0 由此解得a=2，b=一3．此时 [*] 由此可得方程组的用自由未知量表示的通解为 [*] 令x3=k1，x4=k2，则得用对应齐次线性方程组的基础解系表示的通解为 [*] 其中k1，k2为任意常数．
解析
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考研数学二

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