2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]连续，且x∈[a，b]，总y∈[a，b]，使得｜f(y)｜≤｜f(x)｜．试证：ξ∈[a，b]，使得f(ξ)＝0．

设f(x)在[a，b]连续，且x∈[a，b]，总y∈[a，b]，使得｜f(y)｜≤｜f(x)｜．试证：ξ∈[a，b]，使得f(ξ)＝0．

admin2019-05-14  19
问题 设f(x)在[a，b]连续，且x∈[a，b]，总y∈[a，b]，使得｜f(y)｜≤｜f(x)｜．试证：ξ∈[a，b]，使得f(ξ)＝0．
选项
答案反证法．若在[a，b]上f(x)处处不为零，则f(x)在[a，b]上或恒正或恒负．不失一般性，设f(x)＞0，x∈[a，b]，则[*]x0∈[a，b]，f(x0)＝[*]f(x)＞0．由题设，对此x0，[*]y∈[a，b]，使得f(y)＝｜f(y)｜≤[*]｜f(x0)｜＝[*]f(x0)＜f(x0)，与f(x0)是最小值矛盾．因此，[*]ξ∈[a，b]，使f(ξ)＝0．
解析
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考研数学一

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