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设函数f(x)在[-3,3]上二阶可导,且,又f2(0)+[f'(0)]2=6。证明在(-3,3)内至少存在一点ξ,使得f(ξ)=f"(ξ)=0。
设函数f(x)在[-3,3]上二阶可导,且,又f2(0)+[f'(0)]2=6。证明在(-3,3)内至少存在一点ξ,使得f(ξ)=f"(ξ)=0。
admin
2019-01-25
24
问题
设函数f(x)在[-3,3]上二阶可导,且
,又f
2
(0)+[f'(0)]
2
=6。证明在(-3,3)内至少存在一点ξ,使得f(ξ)=f"(ξ)=0。
选项
答案
根据拉格朗日中值定理, f(0)-f(-3)=3f'(η
1
),η
1
∈(-3,0), f(3)-f(0)=3f'(η
2
),η
2
∈(0,3)。 已知[*],因此有 [*] 令φ(x)=f
2
(x)+[f'(x)]
2
,φ(x)在[η
1
,η
2
]上连续,则[*]。 已知f
2
(0)+[f'(0)]
2
=6,则φ(0)=6,设φ(x)在[η
1
,η
2
]上的最大值点为ξ,则φ(ξ)≥6,且φ'(ξ)=0,即 φ'(ξ)=2f(ξ)f'(ξ)+2f'(ξ)f"(ξ)=0, 由于φ(ξ)=f
2
(ξ)+[f'(ξ)]
2
≥6且[*],因此f'(ξ)≠0。综上可得存在点ξ,使得 f'(ξ)+f"(ξ)=0。
解析
本题考查拉格朗日中值定理。根据所证结论构造函数φ(x)=f
2
(x)+[f'(x)]
2
,对其两端同时求导,利用已知条件证明存在某点ξ,使得f'(ξ)≠0,从而结论成立。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/PhP4777K
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考研数学三
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