2. 考研
  3. 设函数f(x)在[－3，3]上二阶可导，且，又f2(0)＋[f＇(0)]2＝6。证明在(－3，3)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)＝f＂(ξ)＝0。

设函数f(x)在[－3，3]上二阶可导，且，又f2(0)＋[f＇(0)]2＝6。证明在(－3，3)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)＝f＂(ξ)＝0。

admin2019-01-25  86
问题 设函数f(x)在[－3，3]上二阶可导，且，又f2(0)＋[f＇(0)]2＝6。证明在(－3，3)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)＝f＂(ξ)＝0。
选项
答案根据拉格朗日中值定理， f(0)－f(－3)＝3f＇(η1)，η1∈(－3，0)， f(3)－f(0)＝3f＇(η2)，η2∈(0，3)。 已知[*]，因此有 [*] 令φ(x)＝f2(x)＋[f＇(x)]2，φ(x)在[η1，η2]上连续，则[*]。 已知f2(0)＋[f＇(0)]2＝6，则φ(0)＝6，设φ(x)在[η1，η2]上的最大值点为ξ，则φ(ξ)≥6，且φ＇(ξ)＝0，即 φ＇(ξ)＝2f(ξ)f＇(ξ)＋2f＇(ξ)f＂(ξ)＝0， 由于φ(ξ)＝f2(ξ)＋[f＇(ξ)]2≥6且[*]，因此f＇(ξ)≠0。综上可得存在点ξ，使得 f＇(ξ)＋f＂(ξ)＝0。
解析 本题考查拉格朗日中值定理。根据所证结论构造函数φ(x)＝f2(x)＋[f＇(x)]2，对其两端同时求导，利用已知条件证明存在某点ξ，使得f＇(ξ)≠0，从而结论成立。
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考研数学三

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