设函数f(x)在[－3，3]上二阶可导，且，又f2(0)＋[f＇(0)]2＝6。证明在(－3，3)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)＝f＂(ξ)＝0。

admin2019-01-25 53

问题设函数f(x)在[－3，3]上二阶可导，且

，又f²(0)＋[f＇(0)]²＝6。证明在(－3，3)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)＝f＂(ξ)＝0。

选项

答案根据拉格朗日中值定理， f(0)－f(－3)＝3f＇(η₁)，η₁∈(－3，0)， f(3)－f(0)＝3f＇(η₂)，η₂∈(0，3)。已知[*]，因此有 [*] 令φ(x)＝f²(x)＋[f＇(x)]²，φ(x)在[η₁，η₂]上连续，则[*]。已知f²(0)＋[f＇(0)]²＝6，则φ(0)＝6，设φ(x)在[η₁，η₂]上的最大值点为ξ，则φ(ξ)≥6，且φ＇(ξ)＝0，即 φ＇(ξ)＝2f(ξ)f＇(ξ)＋2f＇(ξ)f＂(ξ)＝0，由于φ(ξ)＝f²(ξ)＋[f＇(ξ)]²≥6且[*]，因此f＇(ξ)≠0。综上可得存在点ξ，使得 f＇(ξ)＋f＂(ξ)＝0。

解析本题考查拉格朗日中值定理。根据所证结论构造函数φ(x)＝f²(x)＋[f＇(x)]²，对其两端同时求导，利用已知条件证明存在某点ξ，使得f＇(ξ)≠0，从而结论成立。

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考研数学三

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设函数f(x)在[－3，3]上二阶可导，且，又f2(0)＋[f＇(0)]2＝6。证明在(－3，3)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)＝f＂(ξ)＝0。

考研数学三

设函数f(x)=的和．

已知级数．

微分方程y’+ay=b(其中a，b均为常数)的通解是_________．

设实矩阵A=(aij)n×n的秩为n一1，αi为A的第i个行向量(i=1，2，…，n)．求一个非零向量x∈Rn，使x与α1，α2，…，αn均正交．

设n阶方阵A、B可交换，即AB=BA，且A有n个互不相同的特征值，证明：A与B有相同的特征向量．B相似于对角矩阵．

设三元非齐次方程组的系数矩阵A的秩为1，已知η1，η2，η3是它的三个解向量，且η1+η2=[1，2，3]T，η2+η3=[2，一1，1]T，η3+η1=[0，2，0]T．求该非齐次方程组的通解．

设非齐次方程组(I)有解，且系数矩阵A的秩r(A)=r＜n(b1，b2，…，bn不全为零)．证明：方程组(I)的所有解向量中线性无关的最大个数恰为n一r+1个．

每次从1，2，3，4，5中任取一个数，且取后放回，用bi表示第i次取出的数(i=1，2，3)．三维列向量b=(b1，b2，b3)T，三阶方阵A=，求线性方程组Ax=b有解的概率．

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设f(x)在(a，b)内可导，证明：对于，x0∈(a，b)且x≠x0时，f’(x)在(a，b)单调减少的充要条件是f(x0)+f’(x0)(x-x0)＞f(x)．(*)

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刚体作平动时，某瞬时体内各点的速度与加速度为：

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“三弦”这种乐器属于民族乐器中的()类。

元认知指的是对认知的认知，即认知主体关于自己认知过程的知识和调节这些过程的能力，对思维和学习活动的知识和控制。元认知的实质是对认知活动的自我意识和自我调节。根据上述定义，以下包含元认知的是()。

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