2. 考研
  3. 设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则( )．

设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则( )．

admin2013-09-15  43
问题 设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则(    )．
选项 A、λE-A=λE-B
B、A与B有相同的特征值和特征向量
C、A与B都相似于一个对角矩阵
D、对任意常数t，tE-A与tE-B相似
答案D
解析 由题设，若A与B相似，则｜A-λE｜=｜B-λE｜，即A与B的特征值相同，若A-λE=B-λE，则A与B相似，但是A与B相似并不能得出A-λE=B-λE的结论，由此可知(A)，(B)不正确；此外，相似矩阵A，B不一定可以对角化，即不一定相似于对角阵，所以(C)也可排除；关于(D)的正确性证明如下：已知A相似于B，则在可逆矩阵P，使得P-1AP=B，则P-1(tE-A)P=P-1tEP-P-1AP=tE-B，从而tE-A与tE-B相似．综上选(D)．
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考研数学二

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