设A,B为n阶矩阵,且A与B相似,E为n阶单位矩阵,则( ).

admin2013-09-15  39

问题 设A,B为n阶矩阵,且A与B相似,E为n阶单位矩阵,则(    ).

选项 A、λE-A=λE-B
B、A与B有相同的特征值和特征向量
C、A与B都相似于一个对角矩阵
D、对任意常数t,tE-A与tE-B相似

答案D

解析 由题设,若A与B相似,则|A-λE|=|B-λE|,即A与B的特征值相同,若A-λE=B-λE,则A与B相似,但是A与B相似并不能得出A-λE=B-λE的结论,由此可知(A),(B)不正确;此外,相似矩阵A,B不一定可以对角化,即不一定相似于对角阵,所以(C)也可排除;关于(D)的正确性证明如下:已知A相似于B,则在可逆矩阵P,使得P-1AP=B,则P-1(tE-A)P=P-1tEP-P-1AP=tE-B,从而tE-A与tE-B相似.综上选(D).
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