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(13年)设二次型f(χ1,χ2,χ3)=2(a1χ2+aχ2χ2+a3χ3)2+(b1χ1+b2χ2+b3χ3)2,记 (Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT. (Ⅱ)若α,β正交且均为单位向量,证明f在正交变换下的标准形为2y
(13年)设二次型f(χ1,χ2,χ3)=2(a1χ2+aχ2χ2+a3χ3)2+(b1χ1+b2χ2+b3χ3)2,记 (Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT. (Ⅱ)若α,β正交且均为单位向量,证明f在正交变换下的标准形为2y
admin
2021-01-25
62
问题
(13年)设二次型f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)=2(a
1
χ
2
+aχ
2
χ
2
+a
3
χ
3
)
2
+(b
1
χ
1
+b
2
χ
2
+b
3
χ
3
)
2
,记
(Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2αα
T
+ββ
T
.
(Ⅱ)若α,β正交且均为单位向量,证明f在正交变换下的标准形为2y
1
2
+y
2
2
.
选项
答案
(Ⅰ)记χ=[*],由于 f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)=2(a
1
χ
1
+a
2
χ
2
+a
3
χ
3
)
2
+(b
1
χ
1
+b
2
χ
2
+b
3
χ
3
)
2
=2[(χ
1
,χ
2
,χ
3
)[*](a
1
,a
2
,a
3
)[*]]+[(χ
1
,χ
2
,χ
3
)[*](b
1
,b
2
,b
3
)[*]] =2χ
T
(αα
T
)χ+χ
T
(ββ
T
)χ =χ
T
(2αα
T
+ββ
T
)χ
T
, 又2αα
T
+ββ
T
为对称矩阵,所以二次型f的矩阵为2αα
T
+ββ
T
. (Ⅱ)记矩阵A=2αα
T
+ββ
T
.由于α,β正交且为单位向量,即α
T
α=1,β
T
β=1,α
T
β=β
T
α=0,所以 Aα=(2αα
T
+ββ
T
)α=2α, Aβ=(2αα
T
+ββ
T
)β=β, 于是λ
1
=2,λ
2
=1是矩阵A的特征值.又 r(A)=r(2αα
T
+ββ
T
)≤r(2αα
T
)+r(ββ
T
)≤2, 所以λ
3
=0是矩阵A的特征值.由于f在正交变换下的标准形中各变量平方项的系数为A的特征值,故f在正交变换下的标准形为2y
1
2
+y
2
2
.
解析
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0
考研数学三
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