首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
(13年)设二次型f(χ1,χ2,χ3)=2(a1χ2+aχ2χ2+a3χ3)2+(b1χ1+b2χ2+b3χ3)2,记 (Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT. (Ⅱ)若α,β正交且均为单位向量,证明f在正交变换下的标准形为2y
(13年)设二次型f(χ1,χ2,χ3)=2(a1χ2+aχ2χ2+a3χ3)2+(b1χ1+b2χ2+b3χ3)2,记 (Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT. (Ⅱ)若α,β正交且均为单位向量,证明f在正交变换下的标准形为2y
admin
2021-01-25
75
问题
(13年)设二次型f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)=2(a
1
χ
2
+aχ
2
χ
2
+a
3
χ
3
)
2
+(b
1
χ
1
+b
2
χ
2
+b
3
χ
3
)
2
,记
(Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2αα
T
+ββ
T
.
(Ⅱ)若α,β正交且均为单位向量,证明f在正交变换下的标准形为2y
1
2
+y
2
2
.
选项
答案
(Ⅰ)记χ=[*],由于 f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)=2(a
1
χ
1
+a
2
χ
2
+a
3
χ
3
)
2
+(b
1
χ
1
+b
2
χ
2
+b
3
χ
3
)
2
=2[(χ
1
,χ
2
,χ
3
)[*](a
1
,a
2
,a
3
)[*]]+[(χ
1
,χ
2
,χ
3
)[*](b
1
,b
2
,b
3
)[*]] =2χ
T
(αα
T
)χ+χ
T
(ββ
T
)χ =χ
T
(2αα
T
+ββ
T
)χ
T
, 又2αα
T
+ββ
T
为对称矩阵,所以二次型f的矩阵为2αα
T
+ββ
T
. (Ⅱ)记矩阵A=2αα
T
+ββ
T
.由于α,β正交且为单位向量,即α
T
α=1,β
T
β=1,α
T
β=β
T
α=0,所以 Aα=(2αα
T
+ββ
T
)α=2α, Aβ=(2αα
T
+ββ
T
)β=β, 于是λ
1
=2,λ
2
=1是矩阵A的特征值.又 r(A)=r(2αα
T
+ββ
T
)≤r(2αα
T
)+r(ββ
T
)≤2, 所以λ
3
=0是矩阵A的特征值.由于f在正交变换下的标准形中各变量平方项的系数为A的特征值,故f在正交变换下的标准形为2y
1
2
+y
2
2
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/CAx4777K
0
考研数学三
相关试题推荐
设两个随机变量X与Y相互独立且同分布:P(X=-1)=P(y=-1)=1/2,P(X=1)=P(Y-1)=1/2,则下列各式中成立的是().
设A是任一n(n≥3)阶方阵,A*是其伴随矩阵,又k为常数,且k≠0,±1,则必有(kA)*=
已知,P为3阶非零矩阵,且满足PQ=0,则
[2002年]设齐次线性方程组其中a≠0,b≠0,n≥2.试讨论a,b为何值时,方程组仅有零解、无穷多组解?在有无穷多组解时,求出全部解,并用基础解系表示全部解.
[2006年]设总体X的概率密度为f(x)=e-|x|/2,-∞<x<+∞.X1,X2,…,Xn为总体X的简单随机样本,其样本方差为S2,则E(S2)=___________.
[2008年]设随机变量X,Y独立同分布,且X的分布函数为F(x),则Z=max(X,Y)的分布函数为().
[2011年]设向量组α1=[1,0,1]T,α2=[0,1,1]T,α3=[1,3,5]T不能由向量组β1=[1,1,1]T,β2=[1,2,3]T,β3=[3,4,a]T线性表示.将β1,β2,β3用α1,α2,α3线性表示.
(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理:若函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,6)内可导,则存在ξ∈(a,b),使得f(b)—f(A)=f’(ξ)(b—a)。(Ⅱ)证明:若函数f(x)在x=0处连续,在(0,δ)(δ>0)内可导,且f’(x)=A,则f+’(0)
设矩阵的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化.
已知E(X)=1,E(X2)=3,用切比雪夫不等式估计P{﹣1<X<4}≥a,则a的最大值为().
随机试题
半自动仿形气割可以沿样板的外轮廓切割零件外形或内形,沿样板的()可以切割成直角零件。
荷马史诗广泛反映了()
诺思的主要学术贡献是()
基托应有一定厚度以保持抗弯、抗折,塑料基托一般厚度为()
X工业企业下设供水、供电两个辅助生产车间,采用交互分配法进行辅助生产费用的分配。2017年4月,供电车间交互分配前实际发生的生产费用为10万元,应负担供水车间的水费为2万元;供电总量为50万千瓦时(其中:供水车间耗用10万千瓦时,基本生产车间耗用20万千瓦
苏轼,诗清新豪健,善用夸张比喻,在艺术表现方面________________,与黄庭坚并称“苏黄”;词开豪放一派,对后代很有影响,与辛弃疾并称“苏辛”;书法擅长行书、楷书,能自创新意,用笔_________________,有天真烂漫之趣,与黄庭坚、米芾
“所有公共政策的后续效应可能是难以预料的。”下列哪项判断的涵义与上述判断最为相近?()
下列句子中没有语病的一项是()。
Forthispart,youareallowed30minutestowriteashortessayentitledEffectsofTVProgramsfollowingtheoutlinegivenbel
Ifyou’refindingittoughtolandajob,tryexpandingyourjob-huntingplantoincludethefollowingstrategies:Setyour
最新回复
(
0
)