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(13年)设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝2(a1χ2＋aχ2χ2＋a3χ3)2＋(b1χ1＋b2χ2＋b3χ3)2，记 (Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT＋ββT． (Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y
(13年)设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝2(a1χ2＋aχ2χ2＋a3χ3)2＋(b1χ1＋b2χ2＋b3χ3)2，记 (Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT＋ββT． (Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y
admin
2021-01-25
86
问题
(13年)设二次型f(χ
1
，χ
2
，χ
3
)＝2(a
1
χ
2
＋aχ
2
χ
2
＋a
3
χ
3
)
2
＋(b
1
χ
1
＋b
2
χ
2
＋b
3
χ
3
)
2
，记
(Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2αα
T
＋ββ
T
．
(Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y
1
2
＋y
2
2
．
选项
答案
(Ⅰ)记χ＝[*]，由于 f(χ
1
，χ
2
，χ
3
)＝2(a
1
χ
1
＋a
2
χ
2
＋a
3
χ
3
)
2
＋(b
1
χ
1
＋b
2
χ
2
＋b
3
χ
3
)
2
＝2[(χ
1
，χ
2
，χ
3
)[*](a
1
，a
2
，a
3
)[*]]＋[(χ
1
，χ
2
，χ
3
)[*](b
1
，b
2
，b
3
)[*]] ＝2χ
T
(αα
T
)χ＋χ
T
(ββ
T
)χ ＝χ
T
(2αα
T
＋ββ
T
)χ
T
， 又2αα
T
＋ββ
T
为对称矩阵，所以二次型f的矩阵为2αα
T
＋ββ
T
． (Ⅱ)记矩阵A＝2αα
T
＋ββ
T
．由于α，β正交且为单位向量，即α
T
α＝1，β
T
β＝1，α
T
β＝β
T
α＝0，所以 Aα＝(2αα
T
＋ββ
T
)α＝2α， Aβ＝(2αα
T
＋ββ
T
)β＝β， 于是λ
1
＝2，λ
2
＝1是矩阵A的特征值．又 r(A)＝r(2αα
T
＋ββ
T
)≤r(2αα
T
)＋r(ββ
T
)≤2， 所以λ
3
＝0是矩阵A的特征值．由于f在正交变换下的标准形中各变量平方项的系数为A的特征值，故f在正交变换下的标准形为2y
1
2
＋y
2
2
．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/CAx4777K
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考研数学三
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