[2002年] 设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的区域为D={(x，y)｜x2+y2一xy≤75}，小山的高度函数为h(x，y)=75一x2一y2+xy．设M(x0，y0)为区域D上一点，问h(x，y)在该点沿平面上什么方向

admin2019-04-08 73

问题 [2002年] 设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的区域为D={(x，y)｜x²+y²一xy≤75}，小山的高度函数为h(x，y)=75一x²一y²+xy．
设M(x₀，y₀)为区域D上一点，问h(x，y)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?若记此方向导数的最大值为g(x₀，y₀)，试写出g(x₀，y₀)的表达式．

选项

答案由梯度的几何意义知，h(x，y)在点M(x₀，y₀)处沿梯度 gradh(x，y)｜_{(x₀，y₀)}=(y₀一2x₀)i+(x₀一2y₀)j 方向的方向导数最大，方向导数的最大值为该梯度的模，所以 g(x₀，y₀)=[*]

解析

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考研数学一

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[2002年] 设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的区域为D={(x，y)｜x2+y2一xy≤75}，小山的高度函数为h(x，y)=75一x2一y2+xy．设M(x0，y0)为区域D上一点，问h(x，y)在该点沿平面上什么方向

考研数学一

设随机事件A与B相互独立，且P(B)=0．5，P(A—B)=0．3，则P(B—A)=()

设半径为R的球之球心位于以原点为中心、a为半径的定球面上(2a＞R＞0，a为常数)．试确定R为何值时前者夹在定球面内部的表面积为最大，并求出此最大值．

若向量组α1，α2，α3线性相关，向量组α2，α3，α4线性无关，试问α4能否由α1，α2，α3线性表出?并说明理由．

设随机变量X服从参数为λ的指数分布，G(x)是区间[0，1]上均匀分布的分布函数，证明随机变量Y=G(X)的概率分布不是区间[0，1]上的均匀分布．

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=0，试证：(1)存在点η∈使得f(η)=η．(2)对必存在点ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)一λ[f(ξ)－ξ]=1．

甲、乙两船驶向不能同时停靠两条船的码头，它们一天到达时间是等可能的，如果甲停靠，则停靠的时间为1小时，若乙停靠，则停靠的时间为2小时，求它们不需要等候的概率．

求I=dy，其中L是以原点为圆心，R为半径的圆周，取逆时针方向，R≠1．

设{un}，{cn}为正项数列，证明：(1)若对一切正整数n满足cnun－cn+1un+1≤0，且1／cn发散，则un也发散；(2)若对一切正整数n满足cn－cn+1≥a(a＞0)，且1／cn收敛，则cn也收敛．

设总体X的密度函数为f(x)=θ＞0为未知参数，a＞0为已知参数，求θ的极大似然估计量．

设向量组线性相关，但任意两个向量线性无关，求参数t．

胃肠道手术留置胃管时，拔胃管的指征是()。

下列测定路面平整度的方法中属于断面类的方法有()。

钢材的疲劳破坏可以用疲劳极限来表示，疲劳极限是指疲劳试验中试件在()作用下，在规定的周期基数内不发生断裂所能承受的最大应力。

根据债券定价原理，如果一种附息债券的市场价格等于其面值，则其到期收益率()其票面利率。

若某设备投资项目的期望投资收益率为16％，标准离差为0．08，则该设备投资项目标准离差率为()。

4，3，8，6，12，12，(　)

根据商标法规定，下列属于商标侵权行为的有()。

Earlyanthropologists,followingthetheorythatwordsdeterminethought,believedthatlanguageanditsstructurewereentirel

Policiescateringtoalowtuitionintopuniversitiesmayturnouttobringnegativeeffect,JohnBlackburnregardsthenewfi

[2002年] 设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的区域为D={(x，y)｜x2+y2一xy≤75}，小山的高度函数为h(x，y)=75一x2一y2+xy． 设M(x0，y0)为区域D上一点，问h(x，y)在该点沿平面上什么方向

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设随机事件A与B相互独立，且P(B)=0．5，P(A—B)=0．3，则P(B—A)=()

设半径为R的球之球心位于以原点为中心、a为半径的定球面上(2a＞R＞0，a为常数)．试确定R为何值时前者夹在定球面内部的表面积为最大，并求出此最大值．

若向量组α1，α2，α3线性相关，向量组α2，α3，α4线性无关，试问α4能否由α1，α2，α3线性表出?并说明理由．

设随机变量X服从参数为λ的指数分布，G(x)是区间[0，1]上均匀分布的分布函数，证明随机变量Y=G(X)的概率分布不是区间[0，1]上的均匀分布．

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=0，试证：(1)存在点η∈使得f(η)=η．(2)对必存在点ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)一λ[f(ξ)－ξ]=1．

甲、乙两船驶向不能同时停靠两条船的码头，它们一天到达时间是等可能的，如果甲停靠，则停靠的时间为1小时，若乙停靠，则停靠的时间为2小时，求它们不需要等候的概率．

求I=dy，其中L是以原点为圆心，R为半径的圆周，取逆时针方向，R≠1．

设{un}，{cn}为正项数列，证明：(1)若对一切正整数n满足cnun－cn+1un+1≤0，且1／cn发散，则un也发散；(2)若对一切正整数n满足cn－cn+1≥a(a＞0)，且1／cn收敛，则cn也收敛．

设总体X的密度函数为f(x)=θ＞0为未知参数，a＞0为已知参数，求θ的极大似然估计量．

设向量组线性相关，但任意两个向量线性无关，求参数t．

胃肠道手术留置胃管时，拔胃管的指征是()。

下列测定路面平整度的方法中属于断面类的方法有()。

钢材的疲劳破坏可以用疲劳极限来表示，疲劳极限是指疲劳试验中试件在()作用下，在规定的周期基数内不发生断裂所能承受的最大应力。

根据债券定价原理，如果一种附息债券的市场价格等于其面值，则其到期收益率()其票面利率。

若某设备投资项目的期望投资收益率为16％，标准离差为0．08，则该设备投资项目标准离差率为()。

4，3，8，6，12，12，( )

根据商标法规定，下列属于商标侵权行为的有()。

Earlyanthropologists,followingthetheorythatwordsdeterminethought,believedthatlanguageanditsstructurewereentirel

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[2002年] 设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的区域为D={(x，y)｜x2+y2一xy≤75}，小山的高度函数为h(x，y)=75一x2一y2+xy．设M(x0，y0)为区域D上一点，问h(x，y)在该点沿平面上什么方向

4，3，8，6，12，12，(　)