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  3. 已知P—1AP=，α1是矩阵A属于特征值λ=1的特征向量，α2与α3是矩阵A属于特征值λ=5的特征向量，那么矩阵P不能是( )

已知P—1AP=，α1是矩阵A属于特征值λ=1的特征向量，α2与α3是矩阵A属于特征值λ=5的特征向量，那么矩阵P不能是( )

admin2020-03-02  9
问题 已知P—1AP=，α1是矩阵A属于特征值λ=1的特征向量，α2与α3是矩阵A属于特征值λ=5的特征向量，那么矩阵P不能是(    )
选项 A、(α1，—α2，α3)。
B、(α1，α2+α3，α2—2α3)。
C、(α1，α3，α2)。
D、(α1+α2，α1—α2，α3)。
答案D
解析 若P—1AP=Λ=，P=(α1，α2，α3)，则有AP=PΛ，即
(Aα1，Aα2，Aα3)=(λ1α1，λ2α2，λ3α3)，
可见αi是矩阵A属于特征值λi(i=1，2，3)的特征向量，又因矩阵P可逆，因此α1，α2，α3线性无关。
若α是属于特征值λ的特征向量，则—α仍是属于特征值λ的特征向量，故A选项正确。
若α，β是属于特征值λ的特征向量，则α与β的线性组合仍是属于特征值λ的特征向量。本题中，α2，α3是属于λ=5的线性无关的特征向量，故α2+α3，α2—2α3仍是λ=5的特征向量，并且α2+α3，α2—2α3线性无关，故B选项正确。
对于选项C，因为α2，α3均是λ=5的特征向量，所以α2与α3谁在前谁在后均正确。故C选项正确。
由于α1，α2是不同特征值的特征向量，因此α1+α2，α1—α2不再是矩阵A的特征向量，D选项错误，故选D。
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考研数学一

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