2. 考研
  3. 已知α1＝(1，4，0，2)T，α2＝(2，7，1，3)T，α3＝(0，1，－1，a)T，β＝(3，10，b，4)T，问： (1)a，b取何值时，β不能由α1，α2，α3线性表示? (2)a，b取何值时，β可由口α1，α2，α3线性表示?并

已知α1＝(1，4，0，2)T，α2＝(2，7，1，3)T，α3＝(0，1，－1，a)T，β＝(3，10，b，4)T，问： (1)a，b取何值时，β不能由α1，α2，α3线性表示? (2)a，b取何值时，β可由口α1，α2，α3线性表示?并

admin2021-01-19  71
问题 已知α1＝(1，4，0，2)T，α2＝(2，7，1，3)T，α3＝(0，1，－1，a)T，β＝(3，10，b，4)T，问：
    (1)a，b取何值时，β不能由α1，α2，α3线性表示?
    (2)a，b取何值时，β可由口α1，α2，α3线性表示?并写出此表达式．
选项
答案因为 [*] 所以 (1)当b≠2时，线性方程组(α1，α2，α3)x＝β无解，此时β不能由α1，α2，α3线性表示； (2)当b＝2，a≠1时，线性方程组(α1，α2，α3)x＝β有唯一解： x＝(x1，x2，x3)T＝(－1，2，0)T， 于是β可唯一表示为 β＝－α1＋2α2； 当b＝2，a＝1时，线性方程组(α1，α2，α3)x＝β有无穷多个解： x＝(x1，x2，x3)T＝k(－2，1，1)T＋(－1，2，0)T (k为任意常数)． 这时β可由α1，α2，α3线性表示为 β＝(2k＋1)αα1＋(k＋2)α2＋kα3 (k为任意常数)．
解析 [分析]  本题实质上是含参数方程x1α1＋x2α2＋x3α3＝β是否有解的判定问题．
    [评注]  一向量是否可由一组向量线性表示与对应的线性方程组是否有解是等同的，因而本题是考查方程组的求解．化矩阵为阶梯形时，应注意只能用行变换．在化为阶梯形后，对参数a、6的讨论不要重复也不要遗漏，即应分来讨论．
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考研数学二

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