2. 考研
  3. 设有向量组(Ⅰ)：α1＝(1，0，2)T，α2＝(1，1，3)T，α3＝(1，－1，a＋2)T和向量组(Ⅱ)：β1＝(1，2，a＋3)T，β2＝(2，1，a＋6)T，β3＝(2，1，a＋4)T．试问：当a为何值时，向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)等价?当a为何值

设有向量组(Ⅰ)：α1＝(1，0，2)T，α2＝(1，1，3)T，α3＝(1，－1，a＋2)T和向量组(Ⅱ)：β1＝(1，2，a＋3)T，β2＝(2，1，a＋6)T，β3＝(2，1，a＋4)T．试问：当a为何值时，向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)等价?当a为何值

admin2016-06-30  75
问题 设有向量组(Ⅰ)：α1＝(1，0，2)T，α2＝(1，1，3)T，α3＝(1，－1，a＋2)T和向量组(Ⅱ)：β1＝(1，2，a＋3)T，β2＝(2，1，a＋6)T，β3＝(2，1，a＋4)T．试问：当a为何值时，向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)等价?当a为何值时，向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)不等价?
选项
答案由于行列式｜α1 α2 α3｜＝a＋1，故当a≠－1时，秩[α1 α2 α3]＝3．方程组χ1α1＋χ2α2＋χ3α3＝βi(i＝1，2，3)有解(且有唯一解)，所以向量组(Ⅱ)可由向量组(Ⅰ)线性表示；又由行列式｜β1 β2 β3｜＝6≠0，同理可知向量组(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示．故当a≠－1时，(Ⅰ)与(Ⅱ)等价．当a＝－1时，由于秩[α1 α2 α3]≠秩[α1 α2 α3[*]β1]，故方程组χ1α1＋χ2α2＋χ3α3＝β1无解，即β1不能由向量组(Ⅰ)线性表示，所以(Ⅰ)与(Ⅱ)不等价．
解析
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考研数学二

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