设f(x)在[0，1]上有定义，且exf(x)与e-f(x)在[0，1]上单调增加.证明：f(x)在[0，1]上连续.

admin2022-08-19 51

问题设f(x)在[0，1]上有定义，且e^xf(x)与e^-f(x)在[0，1]上单调增加.证明：f(x)在[0，1]上连续.

选项

答案对任意的x₀∈[0，1]，因为e^xf(x)与e^-f(x)存[0，1]单调增加，所以当x＜x₀时，有[*] 今x→x₀^-，由夹逼定理f(x₀-0)=f(x₀)；当x＞x₀时，[*] 令x→x₀⁺，由夹逼定理得f(x₀+0)=f(x₀)，故f(x₀-0)=f(x₀+0)=f(x₀)，即f(x)在x=x₀处连续.由x₀的任意性得f(x)在[0，1]上连续.

解析

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