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设f(x)在(a，b)二阶可导，x1，x2∈(a，b)，x1≠x2，t∈(0，1)，则 (Ⅰ)若f"(x)＞0(x∈(a，b))，有 f[tx1+(1－t)x2]＜tf(x1)+(1－t)f(x2)， 特别有 (Ⅱ)若f"(
设f(x)在(a，b)二阶可导，x1，x2∈(a，b)，x1≠x2，t∈(0，1)，则 (Ⅰ)若f"(x)＞0(x∈(a，b))，有 f[tx1+(1－t)x2]＜tf(x1)+(1－t)f(x2)， 特别有 (Ⅱ)若f"(
admin
2021-11-09
39
问题
设f(x)在(a，b)二阶可导，
x
1
，x
2
∈(a，b)，x
1
≠x
2
，
t∈(0，1)，则
(Ⅰ)若f"(x)＞0(
x∈(a，b))，有
f[tx
1
+(1－t)x
2
]＜tf(x
1
)+(1－t)f(x
2
)，
特别有
(Ⅱ)若f"(x)＜0(
x∈(a，b))，有
f[tx
1
+(1－t)x
2
]＞tf(x
1
)+(1－t)f(x
2
)，
特别有
选项
答案
(Ⅰ)与(Ⅱ)的证法类似，下面只证(Ⅰ)．因f"(x)＞0(x∈(a，b)) => f(x)在(a，b)为凹的．注意tx
1
+(1－t)x
2
∈(a，b) => f(x
1
)＞f[tx
1
+(1－t)x
2
]+f’[tx
1
+(1－t)x
2
][x
1
－(tx
1
+(1－t)x
2
)] =f[tx
1
+(1－t)x
2
]+f’[tx
1
+(1－t)x
2
](1－t)(x
1
－x
2
)， f(x
2
)＞f[tx
1
+(1－t)x
2
]+f’[tx
1
+(1－t)x
2
][x
2
－(tx
1
+(1－t)x
2
)] =f[tx
1
+(1－t)x
2
]－f’[tx
1
+(1－t)x
2
]t(x
1
－x
2
)， 两式分别乘t与(1－t)后相加得 tf(x
1
)+(1－t)f(x
2
)＞f[tx
1
+(1－t)x
2
]．
解析
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考研数学二
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