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设f(x)在(a,b)二阶可导,x1,x2∈(a,b),x1≠x2,t∈(0,1),则 (Ⅰ)若f"(x)>0(x∈(a,b)),有 f[tx1+(1-t)x2]<tf(x1)+(1-t)f(x2), 特别有 (Ⅱ)若f"(
设f(x)在(a,b)二阶可导,x1,x2∈(a,b),x1≠x2,t∈(0,1),则 (Ⅰ)若f"(x)>0(x∈(a,b)),有 f[tx1+(1-t)x2]<tf(x1)+(1-t)f(x2), 特别有 (Ⅱ)若f"(
admin
2021-11-09
43
问题
设f(x)在(a,b)二阶可导,
x
1
,x
2
∈(a,b),x
1
≠x
2
,
t∈(0,1),则
(Ⅰ)若f"(x)>0(
x∈(a,b)),有
f[tx
1
+(1-t)x
2
]<tf(x
1
)+(1-t)f(x
2
),
特别有
(Ⅱ)若f"(x)<0(
x∈(a,b)),有
f[tx
1
+(1-t)x
2
]>tf(x
1
)+(1-t)f(x
2
),
特别有
选项
答案
(Ⅰ)与(Ⅱ)的证法类似,下面只证(Ⅰ).因f"(x)>0(x∈(a,b)) => f(x)在(a,b)为凹的.注意tx
1
+(1-t)x
2
∈(a,b) => f(x
1
)>f[tx
1
+(1-t)x
2
]+f’[tx
1
+(1-t)x
2
][x
1
-(tx
1
+(1-t)x
2
)] =f[tx
1
+(1-t)x
2
]+f’[tx
1
+(1-t)x
2
](1-t)(x
1
-x
2
), f(x
2
)>f[tx
1
+(1-t)x
2
]+f’[tx
1
+(1-t)x
2
][x
2
-(tx
1
+(1-t)x
2
)] =f[tx
1
+(1-t)x
2
]-f’[tx
1
+(1-t)x
2
]t(x
1
-x
2
), 两式分别乘t与(1-t)后相加得 tf(x
1
)+(1-t)f(x
2
)>f[tx
1
+(1-t)x
2
].
解析
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考研数学二
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