2. 考研
  3. 设f(x)在(a，b)二阶可导，x1，x2∈(a，b)，x1≠x2，t∈(0，1)，则 (Ⅰ)若f"(x)＞0(x∈(a，b))，有 f[tx1+(1－t)x2]＜tf(x1)+(1－t)f(x2)， 特别有 (Ⅱ)若f"(

设f(x)在(a，b)二阶可导，x1，x2∈(a，b)，x1≠x2，t∈(0，1)，则 (Ⅰ)若f"(x)＞0(x∈(a，b))，有 f[tx1+(1－t)x2]＜tf(x1)+(1－t)f(x2)， 特别有 (Ⅱ)若f"(

admin2021-11-09  24
问题 设f(x)在(a，b)二阶可导，x1，x2∈(a，b)，x1≠x2，t∈(0，1)，则
    (Ⅰ)若f"(x)＞0(x∈(a，b))，有
    f[tx1+(1－t)x2]＜tf(x1)+(1－t)f(x2)，   
特别有
    (Ⅱ)若f"(x)＜0(x∈(a，b))，有
    f[tx1+(1－t)x2]＞tf(x1)+(1－t)f(x2)，   
特别有
选项
答案(Ⅰ)与(Ⅱ)的证法类似，下面只证(Ⅰ)．因f"(x)＞0(x∈(a，b)) => f(x)在(a，b)为凹的．注意tx1+(1－t)x2∈(a，b) => f(x1)＞f[tx1+(1－t)x2]+f’[tx1+(1－t)x2][x1－(tx1+(1－t)x2)] =f[tx1+(1－t)x2]+f’[tx1+(1－t)x2](1－t)(x1－x2)， f(x2)＞f[tx1+(1－t)x2]+f’[tx1+(1－t)x2][x2－(tx1+(1－t)x2)] =f[tx1+(1－t)x2]－f’[tx1+(1－t)x2]t(x1－x2)， 两式分别乘t与(1－t)后相加得 tf(x1)+(1－t)f(x2)＞f[tx1+(1－t)x2]．
解析
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考研数学二

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