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设数列{xn}满足0<x1<π,xn+1=sinxn(n=1,2,…)。 证明xn存在,并求该极限。
设数列{xn}满足0<x1<π,xn+1=sinxn(n=1,2,…)。 证明xn存在,并求该极限。
admin
2018-12-29
65
问题
设数列{x
n
}满足0<x
1
<π,x
n+1
=sinx
n
(n=1,2,…)。
证明
x
n
存在,并求该极限。
选项
答案
0<x
1
<π,则0<x
2
=sinx
1
≤1<π。 由数学归纳法知0<x
n+1
=sinx
n
≤1<π,n=1,2,…,即数列{x
n
}有界。 于是[*](因当x>0时,sinx<x),则有x
n+1
<x
n
,可见数列{x
n
}单调减少,故由单调减少有下界数列必有极限知,极限[*]存在。 设[*],在x
n+1
=sinx
n
两边令n→∞,得l=sinl,解得l=0,即[*]=0。
解析
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考研数学一
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