设数列{xn}满足0＜x1＜π，xn+1=sinxn(n=1，2，…)。证明xn存在，并求该极限。

admin2018-12-29 36

问题设数列{x_n}满足0＜x₁＜π，x_n+1=sinx_n(n=1，2，…)。
证明

x_n存在，并求该极限。

选项

答案0＜x₁＜π，则0＜x₂=sinx₁≤1＜π。由数学归纳法知0＜x_n+1=sinx_n≤1＜π，n=1，2，…，即数列{x_n}有界。于是[*](因当x＞0时，sinx＜x)，则有x_n+1＜x_n，可见数列{x_n}单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知，极限[*]存在。设[*]，在x_n+1=sinx_n两边令n→∞，得l=sinl，解得l=0，即[*]=0。

解析

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