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设B是n×n矩阵,A是n阶正定阵,证明: BTAB也是正定阵的充要条件为r(B)=n.
设B是n×n矩阵,A是n阶正定阵,证明: BTAB也是正定阵的充要条件为r(B)=n.
admin
2017-06-14
25
问题
设B是n×n矩阵,A是n阶正定阵,证明:
B
T
AB也是正定阵的充要条件为r(B)=n.
选项
答案
必要性.A正定,且B
T
AB正定,由(1)知,r(B)=r(B
T
AB)=n,故r(B)=n. 充分性.A正定,r(B)=n,则B
T
AB=B
T
D
T
DB=(DB
T
)(DB),因r(B)=n,D可逆,故DB可逆,从而B
T
AB正定.
解析
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考研数学一
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