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已知曲线L的方程 (1)讨论L的凹凸性; (2)过点(=1,0)引L的切线,求切点(x0,y0),并写出切线的方程; (3)求此切线与L(对应于x≤x0的部分)及x轴所围成的平面图形的面积.
已知曲线L的方程 (1)讨论L的凹凸性; (2)过点(=1,0)引L的切线,求切点(x0,y0),并写出切线的方程; (3)求此切线与L(对应于x≤x0的部分)及x轴所围成的平面图形的面积.
admin
2019-08-01
57
问题
已知曲线L的方程
(1)讨论L的凹凸性;
(2)过点(=1,0)引L的切线,求切点(x
0
,y
0
),并写出切线的方程;
(3)求此切线与L(对应于x≤x
0
的部分)及x轴所围成的平面图形的面积.
选项
答案
(1)因为[*] 故曲线L当f≥0时是凸的. (2)由(1)知,切线方程为y-0=[*](x+1),设x
0
=t
0
2
+1,y
0
=4t
0
-t
0
2
,则(fi+2),即4t
0
—t
0
2
=[*](2-t
0
)(t
0
2
+2),整理得t
0
2
+t
0
-2=0→(t
0
-1)(t
0
+2)=0→t
0
=1,t
0
=-2(舍去).将t
0
=1代入参数方程,得切点为(2,3),故切线方程为 y-3=[*](x-2),即y=x+1. (3)由题设可知,所水平面图形如图1—2—1所示,其中各点坐标为A(1,0),B(2,0),C(2,3),D(-1,0), 设L的方程x=g(y),则S=∫
0
3
[g(y)-(y-1)]dy 由参数方程可得[*] 由于C(2,3)在L上,则x=g(y)=[*]于是 [*] [*]
解析
[分析] (1)利用曲线凹凸的定义来判定;(2)先写出切线方程,然后利用(-1,0)在切线上;(3)利用定积分计算平面图形的面积.
[评注] 本题为基本题型,第(3)问求平面图形的面积时,要将参数方程转化为直角坐标方程求解.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/QDN4777K
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考研数学二
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