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设f(x)在[0,1]上二阶可导,且|f’’(x)|≤1(x∈[0,1]),又f(0)=f(1),证明: |f’(x)|≤(x∈[0,1]).
设f(x)在[0,1]上二阶可导,且|f’’(x)|≤1(x∈[0,1]),又f(0)=f(1),证明: |f’(x)|≤(x∈[0,1]).
admin
2018-05-22
22
问题
设f(x)在[0,1]上二阶可导,且|f’’(x)|≤1(x∈[0,1]),又f(0)=f(1),证明:
|f’(x)|≤
(x∈[0,1]).
选项
答案
由泰勒公式得 f(0)=f(x)-f’(x)x+[*]f’’(ξ
1
)x
2
,ξ
1
∈(0,x), f(1)=f(x)+f’(x)(1-x)+[*]f’’(ξ
2
)(1-x)
2
,ξ
2
∈(x,1), 两式相减,得f’(x)=[*]f’’(ξ
1
)x
2
-[*]f’’(ξ
2
)(1-x)
2
. 两边取绝对值,再由|f’’(x)|≤1,得 |f’(x)|≤[*][x
2
+(1-x)
2
]=[*]
解析
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考研数学二
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