2. 考研
  3. 设f(x)在(一∞，+∞)内有定义，且对于任意x与y均有(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，又设f’(0)存在且等于a(a≠0)，试证明对任意的x∈(一∞，+∞)，f’(x)都存在，并求f(x)。

设f(x)在(一∞，+∞)内有定义，且对于任意x与y均有(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，又设f’(0)存在且等于a(a≠0)，试证明对任意的x∈(一∞，+∞)，f’(x)都存在，并求f(x)。

admin2018-12-19  48
问题 设f(x)在(一∞，+∞)内有定义，且对于任意x与y均有(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，又设f’(0)存在且等于a(a≠0)，试证明对任意的x∈(一∞，+∞)，f’(x)都存在，并求f(x)。
选项
答案将x=y=0代入f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，得f(0)=0，为证明f’(x)存在，则由导数定义 [*] =f(x)+f’(0)ex=f(x)+aex， 所以对任意x∈(一∞，+∞)，f’(x)都存在，且f’(x)=f(x)+aex。 解此一阶线性方程，得 f(x)=e∫dx(∫aexe—∫dxdx+C)=ex(ax+C)。 又因f(0)=0，得C=0，即f(x)=axex。
解析
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考研数学二

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