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A为n(n≥3)阶非零实矩阵,Aij为A中元素aij的代数余子式,试证明: aij=-AijATA=E,且|A|=-1.
A为n(n≥3)阶非零实矩阵,Aij为A中元素aij的代数余子式,试证明: aij=-AijATA=E,且|A|=-1.
admin
2016-07-22
151
问题
A为n(n≥3)阶非零实矩阵,A
ij
为A中元素a
ij
的代数余子式,试证明:
a
ij
=-A
ij
A
T
A=E,且|A|=-1.
选项
答案
当a
ij
=-A
ij
时,有A
T
=-A
*
,则A
T
A=-A
*
A=-|A|E.由于A为n阶非零实矩阵,即a
ij
不全为0,所以|A|=[*]在A
T
A=|A|E两边取行列式得|A|=-1. 反之,若A
T
A=E且|A|=-1,由于A
*
A=|A|E=-E,于是,A
T
A=-A
*
A.进一步,由于A可逆,得A
T
=-A
*
,即a
ij
=-A
ij
.
解析
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考研数学一
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