A为n(n≥3)阶非零实矩阵,Aij为A中元素aij的代数余子式,试证明: aij=-AijATA=E,且|A|=-1.

admin2016-07-22  118

问题 A为n(n≥3)阶非零实矩阵,Aij为A中元素aij的代数余子式,试证明:
aij=-AijATA=E,且|A|=-1.

选项

答案当aij=-Aij时,有AT=-A*,则ATA=-A*A=-|A|E.由于A为n阶非零实矩阵,即aij不全为0,所以|A|=[*]在ATA=|A|E两边取行列式得|A|=-1. 反之,若ATA=E且|A|=-1,由于A*A=|A|E=-E,于是,ATA=-A*A.进一步,由于A可逆,得AT=-A*,即aij=-Aij

解析
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