A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为A中元素aij的代数余子式，试证明： aij=-AijATA=E，且｜A｜=-1．

admin2016-07-22 151

问题 A为n(n≥3)阶非零实矩阵，A_ij为A中元素a_ij的代数余子式，试证明：
a_ij=-A_ij

A^TA=E，且｜A｜=-1．

选项

答案当a_ij=-A_ij时，有A^T=-A^*，则A^TA=-A^*A=-｜A｜E．由于A为n阶非零实矩阵，即a_ij不全为0，所以｜A｜=[*]在A^TA=｜A｜E两边取行列式得｜A｜=-1．反之，若A^TA=E且｜A｜=-1，由于A^*A=｜A｜E=-E，于是，A^TA=-A^*A．进一步，由于A可逆，得A^T=-A^*，即a_ij=-A_ij．

解析

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