[2000年] 设α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组AX=b的3个解向量，且秩(A)=3，α1=[1，2，3，4]T，α2+α3=[0，1，2，3]T，c表示任意常数，则线性方程组AX=b的通解X=( )．

admin2021-01-25 128

问题 [2000年] 设α₁，α₂，α₃是四元非齐次线性方程组AX=b的3个解向量，且秩(A)=3，α₁=[1，2，3，4]^T，α₂+α₃=[0，1，2，3]^T，c表示任意常数，则线性方程组AX=b的通解X=( )．

选项 A、[1，2，3，4]^T+c[1，1，1，1]^T
B、[1，2，3，4]^T+c[0，1，2，3]^T
C、[1，2，3，4]^T+c[2，3，4，5]^T
D、[1，2，3，4]^T+c[3，4，5，6]^T

答案C

解析解一  仅(C)入选．AX=b为四元非齐次方程组，秩(A)=3，AX=0的一个基础解系只含n－秩(A)=4－3=1个解向量．将特解的线性组合2α₁，α₂+α₃写成特解之差的线性组合，即
         2α₁－(α₂+α₃)=(α₁－α₂)+(α₁－α₃)．
因2一(1+1)=0，由命题2．4．4．1知，2α₁－(α₂+α₃)=[2，3，4，5]^T≠0仍为AX=0的一个解向量，且为其一个基础解系，故AX=b的通解为
      X=α₁+k[2α₁－(α₂+α₃)]=[1，2，3，4]^T+k[2，3，4，5]^T．
解二  仅(C)入选．因秩(A)=3，故四元齐次方程组AX=0的基础解系所含向量的个数为4一秩(A)=1，所以AX=0的任一个非零解都是它的基础解系．由于α₁及(α₂+α₃)／2都是AX=b的解(因1／2+1／2=1)，故
      α₁－