已知n阶矩阵A满足A3＝E． (1)证明A2－2A－3E可逆． (2)证明A2＋A＋2E可逆．

admin2018-11-23 35

问题已知n阶矩阵A满足A³＝E．
(1)证明A²－2A－3E可逆．
(2)证明A²＋A＋2E可逆．

选项

答案通过特征值来证明，矩阵可逆的充要条件是0不是它的特征值．由于A³＝E，A的特征值都满足λ³＝1． (1)A²－2A－3E＝(A－3E)(A＋E)，3和－1都不满足λ³＝1，因此都不是A的特征值．于是(A－3E)和(A＋E)都可逆，从而A²－2A－3E可逆． (2)设A的全体特征值为λ₁，λ₂，…，λ_n，则A²＋A＋2E的特征值λ_i²＋λ_i＋2，i＝1，2，…，n．由于λ_i³＝1，λ_i或者为1，或者满足λ_i²＋λ_i＋1＝0．于是λ_i²＋λ_i＋2或者为4，或者为1，总之都不是0．因此A²＋A＋2E可逆．

解析

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