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  3. 已知三元二次型xTAx的秩为2，且 求此二次型的表达式，并求正交变换x=Qy化二次型为标准形．

已知三元二次型xTAx的秩为2，且 求此二次型的表达式，并求正交变换x=Qy化二次型为标准形．

admin2019-05-14  56
问题 已知三元二次型xTAx的秩为2，且

求此二次型的表达式，并求正交变换x=Qy化二次型为标准形．
选项
答案二次型xTAx的秩为2，即r(A)=2，所以λ=0是A的特征值． 又 [*] 所以3是A的特征值，(1，2，1)T是3的特征向量；一1也是A的特征值，(1，－1，1)T是一1的特征向量． 因为实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，设λ=0的特征向量是(x1，x2，x3)T，则有 [*] 即[*]解出λ=0的特征向量是(1，0，一1)T． 那么[*]所以 [*] 因此xTAx=[*]+16x1x2+2x1x3+16x2x3)． 令Q=[*]，则经正交坐标变换x=Qy有xTAx=yT =[*]
解析
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考研数学一

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