已知三元二次型xTAx的秩为2，且求此二次型的表达式，并求正交变换x=Qy化二次型为标准形．

admin2019-05-14 63

问题已知三元二次型x^TAx的秩为2，且

求此二次型的表达式，并求正交变换x=Qy化二次型为标准形．

选项

答案二次型x^TAx的秩为2，即r(A)=2，所以λ=0是A的特征值．又 [*] 所以3是A的特征值，(1，2，1)^T是3的特征向量；一1也是A的特征值，(1，－1，1)^T是一1的特征向量．因为实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，设λ=0的特征向量是(x₁，x₂，x₃)^T，则有 [*] 即[*]解出λ=0的特征向量是(1，0，一1)^T．那么[*]所以 [*] 因此x^TAx=[*]+16x₁x₂+2x₁x₃+16x₂x₃)．令Q=[*]，则经正交坐标变换x=Qy有x^TAx=y^T =[*]

解析

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