设A是n阶矩阵，a1，a2，…，an是n维列向量，且an≠0，若Aa1＝a2，Aa2＝a3，…，Aan－1＝an，Aan＝0．求A的特征值与特征向量．

admin2020-03-10 103

问题设A是n阶矩阵，a₁，a₂，…，a_n是n维列向量，且a_n≠0，若Aa₁＝a₂，Aa₂＝a₃，…，Aa_n－1＝a_n，Aa_n＝0．
求A的特征值与特征向量．

选项

答案A(a₁，a₂，…，a_n)＝(a₁，a₂，…，a_n)[*]，令P＝(a₁，a₂，…，a_n)，则P^－1AP＝[*]＝B，则A与B相似，由｜λE｜－B｜＝0[*]λ₁＝…＝λ_n＝0，即A的特征值全为零，又r(A)＝n－1，所以AX＝0的基础解系只含有一个线性无关的解向量，而Aa_n＝Oa_n(a_n≠0)，所以A的全部特征向量为ka_n(k≠0)．

解析

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