2. 考研
  3. A是3阶矩阵，有特征值λ1=λ2=2，对应两个线性无关的特征向量为ξ1，ξ2，λ3=－2的特征向量是ξ3． 证明任意三维非零向量β都是A2的特征向量，并求对应的特征值．

A是3阶矩阵，有特征值λ1=λ2=2，对应两个线性无关的特征向量为ξ1，ξ2，λ3=－2的特征向量是ξ3． 证明任意三维非零向量β都是A2的特征向量，并求对应的特征值．

admin2018-07-23  56
问题 A是3阶矩阵，有特征值λ1=λ2=2，对应两个线性无关的特征向量为ξ1，ξ2，λ3=－2的特征向量是ξ3．
证明任意三维非零向量β都是A2的特征向量，并求对应的特征值．
选项
答案因A有特征值λ1=λ2=2，λ3=－2，故A2有特征值μ1=μ2=μ2=4．对应的特征向量仍是ξ1，ξ2，ξ3，且ξ1，ξ2，ξ3线性无关．故存在可逆矩阵P=(ξ1，ξ2，ξ3)，使得 P－1A2P=4E，A2=P(4E)P－1=4E， 从而对任意的β≠0，有A2β=4Eβ=4β，故知任意三维非零向量β都是A2的对应于μ=4的特征向量．
解析
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考研数学二

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