设f(χ)在(-∞,a)内可导,f′(χ)=β<0,=α>0,求证:f(χ)在(-∞,a)内至少有一个零点.

admin2019-06-28  50

问题 设f(χ)在(-∞,a)内可导,f′(χ)=β<0,=α>0,求证:f(χ)在(-∞,a)内至少有一个零点.

选项

答案由极限的不等式性质,[*]δ>0,当χ∈[a-δ,a)时[*]>0,即f(χ)<0,也就有f(a-δ)<0.[*]χ0<a-δ,当χ≤χ0时f′(χ)≤[*]<0.于是由微分中值定理知,当χ<χ0,[*]ξ∈(χ,χ0)使得 f(χ)=f(χ0)+f′(ξ)(χ-χ0)≥f(χ0)+[*](χ-χ0), 由此可得[*]=+∞.[*]χ1<a-δ使得f(χ1)>0. 在[χ1,a-δ]上应用连续函数零点存在性定理,f(χ)在(χ1,a-δ)上至少存在一个零点.

解析
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