设f(χ)在(－∞，a)内可导，f′(χ)＝β＜0，＝α＞0，求证：f(χ)在(－∞，a)内至少有一个零点．

admin2019-06-28 41

问题设f(χ)在(－∞，a)内可导，

f′(χ)＝β＜0，

＝α＞0，求证：f(χ)在(－∞，a)内至少有一个零点．

选项

答案由极限的不等式性质，[*]δ＞0，当χ∈[a－δ，a)时[*]＞0，即f(χ)＜0，也就有f(a－δ)＜0．[*]χ₀＜a－δ，当χ≤χ₀时f′(χ)≤[*]＜0．于是由微分中值定理知，当χ＜χ₀，[*]ξ∈(χ，χ₀)使得 f(χ)＝f(χ₀)＋f′(ξ)(χ－χ₀）≥f(χ₀)＋[*](χ－χ₀)，由此可得[*]＝＋∞．[*]χ₁＜a－δ使得f(χ₁)＞0．在[χ₁，a－δ]上应用连续函数零点存在性定理，f(χ)在(χ₁，a－δ)上至少存在一个零点．

解析

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