2. 考研
  3. 设f(x)在(-∞，a)内可导，求证：f(x)在(-∞，a)内至少有一个零点．

设f(x)在(-∞，a)内可导，求证：f(x)在(-∞，a)内至少有一个零点．

admin2018-06-27  56
问题 设f(x)在(-∞，a)内可导，求证：f(x)在(-∞，a)内至少有一个零点．
选项
答案只需由所给条件证明：[*]x1与x2，使得f(x1)＞0，f(x2)＜0即可． 由极限的不等式性质及[*]确定x＜a，x靠近a时f(x)的符号，由微分中值定理(联系函数和它的导数)及[*]=β＜0确定x＜0，｜x｜充分大时f(x)的符号． 由极限的不等式性质，[*]＞0，当x∈[a-δ，a)时[*]，即f(x)＜0，也就有f(a-δ)＜0．[*]x0＜a-δ，当x≤x0时f’(x)≤[*]＜0．于是由微分中值定理知，当x＜x0，[*]∈(x，x0)使得 f(x)=f(x0)+f’(ξ)(x-x0)≥f(x0)+[*](x-x0)， 由此可得[*]x1＜a-δ使得f(x1)＞0． 在[x1，a-δ]上应用连续函数零点存在性定理f(x)在(x1，a-δ)上至少存在一个零点．
解析
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考研数学二

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