设f(x)在(-∞，a)内可导，求证：f(x)在(-∞，a)内至少有一个零点．

admin2018-06-27 57

问题设f(x)在(-∞，a)内可导

，求证：f(x)在(-∞，a)内至少有一个零点．

选项

答案只需由所给条件证明：[*]x₁与x₂，使得f(x₁)＞0，f(x₂)＜0即可．由极限的不等式性质及[*]确定x＜a，x靠近a时f(x)的符号，由微分中值定理(联系函数和它的导数)及[*]=β＜0确定x＜0，｜x｜充分大时f(x)的符号．由极限的不等式性质，[*]＞0，当x∈[a-δ，a)时[*]，即f(x)＜0，也就有f(a-δ)＜0．[*]x₀＜a-δ，当x≤x₀时f’(x)≤[*]＜0．于是由微分中值定理知，当x＜x₀，[*]∈(x，x₀)使得 f(x)=f(x₀)+f’(ξ)(x-x₀)≥f(x₀)+[*](x-x₀)，由此可得[*]x₁＜a-δ使得f(x₁)＞0．在[x₁，a-δ]上应用连续函数零点存在性定理f(x)在(x₁，a-δ)上至少存在一个零点．

解析

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考研数学二

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