设f(x)=sin3x+∫-ππxf(x)dx，求∫0πf(x)dx．

admin2022-10-25 56

问题设f(x)=sin³x+∫_-π^πxf(x)dx，求∫₀^πf(x)dx．

选项

答案令∫_-π^πxf(x)dx=A，则f(x)=sin³x+A，xf(x)=xsin³x+Ax两边积分得∫_-π^πxf(x)dx=∫_-π^πxsin³xdx+∫_-π^πAxdx，即A=∫_-π^πxsin³xdx=2∫₀^πsin³xdx=π∫₀^πsin³xdx=2π∫₀^π/2sin³xdx=4π/3，从而f(x)=sin³x+4π/3，故∫₀^πf(x)dx=∫₀^π(sin³x+4π/3)dx=∫₀^πsin³xdx+4π/3∫₀^πdx=4/3(1+π²)．

解析

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