设A是n阶矩阵，证明： r(A)=1且tr(A)≠0，证明A可相似对角化．

admin2021-01-14 49

问题设A是n阶矩阵，证明：
r(A)=1且tr(A)≠0，证明A可相似对角化．

选项

答案因为r(A)=1，所以存在非零列向量α，β，使得A=αβ^T，显然tr(A)=(α，β)，因为tr(A)≠0，所以(α，β)=k≠0．令AX=λX，因为A²=kA，所以λ²X=kλX，或(λ²一kλ)X=0，注意到X≠0，所以矩阵A的特征值为λ=0或λ=k．因为λ₁+λ₂+…+λ_n=tr(A)=k，所以λ₁=k，λ₂=λ₃=…=λ_n=0，由r(0E—A)=r(A)=1，得A一定可以对角化．

解析

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