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  3. 设A是n阶矩阵，证明： r(A)=1且tr(A)≠0，证明A可相似对角化．

设A是n阶矩阵，证明： r(A)=1且tr(A)≠0，证明A可相似对角化．

admin2021-01-14  70
问题 设A是n阶矩阵，证明：
r(A)=1且tr(A)≠0，证明A可相似对角化．
选项
答案因为r(A)=1，所以存在非零列向量α，β，使得A=αβT，显然tr(A)=(α，β)，因为tr(A)≠0，所以(α，β)=k≠0． 令AX=λX，因为A2=kA，所以λ2X=kλX，或(λ2一kλ)X=0，注意到X≠0，所以矩阵A的特征值为λ=0或λ=k． 因为λ1+λ2+…+λn=tr(A)=k，所以λ1=k，λ2=λ3=…=λn=0，由r(0E—A)=r(A)=1，得A一定可以对角化．
解析
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考研数学二

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