设e＜a＜b＜e2，证明：ln2b－ln2a＞4／e2(b－a)。

admin2019-08-01 30

问题设e＜a＜b＜e²，证明：ln²b－ln²a＞4／e²(b－a)。

选项

答案方法一：对函数ln²x在[a，b]上应用拉格朗日中值定理，得 ln²b－ln²a=2lnξ／ξ(b－a)，a＜ξ＜b。设φ(t)=lnt／t，φ’(t)=(1－lnt)／t²，当t＞e时，φ’(t)＜0，所以φ(t)单调减少，从而φ(ξ)＞φ(e²)，即lnξ／ξ＞lne²／e²=2／e²，故 ln²b－ln²a＞4／e²(b－a)。方法二：设φ(x)=ln²x－[*]x，则 [*] 因此当x＞e时，φ"(x)＜0，故φ’(x)单调减少，从而当e＜x＜e²时，φ’(x)＞φ’(e²)=[*]=0，即当e＜x＜e²时，φ(x)单调增加。因此当e＜a＜b＜e²时，φ(b)＞φ(a)，即ln²b－[*]b＞ln²a－[*]a，故 ln²b－ln²a＞4／e²(b－a)。

解析

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