2. 考研
  3. 设e＜a＜b＜e2，证明：ln2b－ln2a＞4／e2(b－a)。

设e＜a＜b＜e2，证明：ln2b－ln2a＞4／e2(b－a)。

admin2019-08-01  25
问题 设e＜a＜b＜e2，证明：ln2b－ln2a＞4／e2(b－a)。
选项
答案方法一：对函数ln2x在[a，b]上应用拉格朗日中值定理，得 ln2b－ln2a=2lnξ／ξ(b－a)，a＜ξ＜b。 设φ(t)=lnt／t，φ’(t)=(1－lnt)／t2，当t＞e时，φ’(t)＜0，所以φ(t)单调减少，从而φ(ξ)＞φ(e2)， 即lnξ／ξ＞lne2／e2=2／e2，故 ln2b－ln2a＞4／e2(b－a)。 方法二：设φ(x)=ln2x－[*]x，则 [*] 因此当x＞e时，φ"(x)＜0，故φ’(x)单调减少，从而当e＜x＜e2时，φ’(x)＞φ’(e2)=[*]=0，即当e＜x＜e2时，φ(x)单调增加。 因此当e＜a＜b＜e2时，φ(b)＞φ(a)，即ln2b－[*]b＞ln2a－[*]a，故 ln2b－ln2a＞4／e2(b－a)。
解析
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考研数学二

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