设f(x)=f(x-π)+xsin2x，且当x∈[0，π)时，f(x)=x，求∫02πf(x)dx．

admin2022-10-25 53

问题设f(x)=f(x-π)+xsin²x，且当x∈[0，π)时，f(x)=x，求∫₀^2πf(x)dx．

选项

答案∫₀^2πf(x)dx=∫₀²f(x)dx+∫_π^2πf(x)dx=π²/2+∫_π^2π[f(x-π)+xsin²x]dx=π²/2∫_π^2πf(x-π)d(x-π)+∫_π^2πxsin²xdx=π/2+∫₀^πf(x)dx+∫_π^2πxsin²xdx令x-π=t，π²+∫₀^π(π+t)sin²tdt=π²+π∫₀^πsin²tdt+∫₀^πtsin²tdt=π²+2π·1/2·π/2+π/2∫₀^πsin²tdt=3π²+π/2·2·1/2·π/2=3π²/2+π²/4=7π²/4．

解析

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