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设矩阵A=,现矩阵A满足方程Ax=b,其中x=(x1,…,xn)T,b=(1,0,…,0)。 (Ⅰ)求证|A|=(n+1)an; (Ⅱ)a为何值,方程组有唯一解,并求x1; (Ⅲ)a为何值,方程组有无穷多解,并求通解。
设矩阵A=,现矩阵A满足方程Ax=b,其中x=(x1,…,xn)T,b=(1,0,…,0)。 (Ⅰ)求证|A|=(n+1)an; (Ⅱ)a为何值,方程组有唯一解,并求x1; (Ⅲ)a为何值,方程组有无穷多解,并求通解。
admin
2019-06-25
58
问题
设矩阵A=
,现矩阵A满足方程Ax=b,其中x=(x
1
,…,x
n
)
T
,b=(1,0,…,0)。
(Ⅰ)求证|A|=(n+1)a
n
;
(Ⅱ)a为何值,方程组有唯一解,并求x
1
;
(Ⅲ)a为何值,方程组有无穷多解,并求通解。
选项
答案
(Ⅰ)方法一: [*] =(n+1)a
n
。 方法二:记D
n
=|A|,下面用数学归纳法证明D
n
=(n+1)a
n
。 当n=1时,D
1
=2a,结论成立。 当n=2时,D
2
=[*]=3a
2
,结论成立。 假设结论对小于n一1阶行列式的情况成立。将D
n
按第一行展开得 D
n
=2aD
n-2
一[*] =2aD
n-1
一a
2
D
n-2
=2ana
n-1
一a
2
(n—1)a
n-2
=(n+1)a
n
, 故|A|=(n+1)a
n
。 方法三:记D
n
=|A|,将其按第一列展开得D
n
=2aD
n-1
一a
2
D
n-2
。所以 D
n
一aD
n-1
=aD
n-1
—a
2
D
n-2
=a(D
n-1
一aD
n-2
) =a
2
(D
n-2
一aD
n-3
)=…=a
n-2
(D
2
一aD
1
)=a
n
。 即有 D
n
=a
n
+aD
n-1
=a
n
+a(a
n-1
+aD
n-2
)=2a
n
+a
2
D
n-2
=…=(n一2)a
n
+a
n-2
D
2
=(n—1)a
n
+a
n-1
D
1
=(n一1)a
n
+a
n-1
.2a=(n+1)a
n
。 (Ⅱ)因为方程组有唯一解,所以由Ax=b知|A|≠0,又|A|=(n+1)a
n
,故a≠0。 根据克拉默法则,将D
n
的第一列换成b,得行列式为 [*] (Ⅲ)方程组有无穷多解,由|A|=0,得a=0,则方程组Ax=b为 [*] 此时,方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为n一1,所以方程组有无穷多解,其通解为 k(1,0,0,…,0)
T
+(0,1,0,…,0)
T
,k为任意常数。
解析
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考研数学三
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