设矩阵A=,现矩阵A满足方程Ax=b,其中x=(x1,…,xn)T,b=(1,0,…,0)。 (Ⅰ)求证|A|=(n+1)an; (Ⅱ)a为何值,方程组有唯一解,并求x1; (Ⅲ)a为何值,方程组有无穷多解,并求通解。

admin2019-06-25  37

问题 设矩阵A=,现矩阵A满足方程Ax=b,其中x=(x1,…,xn)T,b=(1,0,…,0)。
    (Ⅰ)求证|A|=(n+1)an
    (Ⅱ)a为何值,方程组有唯一解,并求x1
    (Ⅲ)a为何值,方程组有无穷多解,并求通解。

选项

答案(Ⅰ)方法一: [*] =(n+1)an。 方法二:记Dn=|A|,下面用数学归纳法证明Dn=(n+1)an。 当n=1时,D1=2a,结论成立。 当n=2时,D2=[*]=3a2,结论成立。 假设结论对小于n一1阶行列式的情况成立。将Dn按第一行展开得 Dn=2aDn-2一[*] =2aDn-1一a2Dn-2=2anan-1一a2(n—1)an-2=(n+1)an, 故|A|=(n+1)an。 方法三:记Dn=|A|,将其按第一列展开得Dn=2aDn-1一a2Dn-2。所以 Dn一aDn-1=aDn-1—a2Dn-2=a(Dn-1一aDn-2) =a2(Dn-2一aDn-3)=…=an-2(D2一aD1)=an。 即有 Dn=an+aDn-1=an+a(an-1+aDn-2)=2an+a2Dn-2 =…=(n一2)an+an-2D2=(n—1)an+an-1D1 =(n一1)an+an-1.2a=(n+1)an。 (Ⅱ)因为方程组有唯一解,所以由Ax=b知|A|≠0,又|A|=(n+1)an,故a≠0。 根据克拉默法则,将Dn的第一列换成b,得行列式为 [*] (Ⅲ)方程组有无穷多解,由|A|=0,得a=0,则方程组Ax=b为 [*] 此时,方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为n一1,所以方程组有无穷多解,其通解为 k(1,0,0,…,0)T+(0,1,0,…,0)T,k为任意常数。

解析
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