2. 考研
  3. 设矩阵A=，现矩阵A满足方程Ax=b，其中x=(x1，…，xn)T，b=(1，0，…，0)。 (Ⅰ)求证｜A｜=(n+1)an； (Ⅱ)a为何值，方程组有唯一解，并求x1； (Ⅲ)a为何值，方程组有无穷多解，并求通解。

设矩阵A=，现矩阵A满足方程Ax=b，其中x=(x1，…，xn)T，b=(1，0，…，0)。 (Ⅰ)求证｜A｜=(n+1)an； (Ⅱ)a为何值，方程组有唯一解，并求x1； (Ⅲ)a为何值，方程组有无穷多解，并求通解。

admin2019-06-25  48
问题 设矩阵A=，现矩阵A满足方程Ax=b，其中x=(x1，…，xn)T，b=(1，0，…，0)。
    (Ⅰ)求证｜A｜=(n+1)an；
    (Ⅱ)a为何值，方程组有唯一解，并求x1；
    (Ⅲ)a为何值，方程组有无穷多解，并求通解。
选项
答案(Ⅰ)方法一： [*] =(n+1)an。 方法二：记Dn=｜A｜，下面用数学归纳法证明Dn=(n+1)an。 当n=1时，D1=2a，结论成立。 当n=2时，D2=[*]=3a2，结论成立。 假设结论对小于n一1阶行列式的情况成立。将Dn按第一行展开得 Dn=2aDn-2一[*] =2aDn-1一a2Dn-2=2anan-1一a2(n—1)an-2=(n+1)an， 故｜A｜=(n+1)an。 方法三：记Dn=｜A｜，将其按第一列展开得Dn=2aDn-1一a2Dn-2。所以 Dn一aDn-1=aDn-1—a2Dn-2=a(Dn-1一aDn-2) =a2(Dn-2一aDn-3)=…=an-2(D2一aD1)=an。 即有 Dn=an+aDn-1=an+a(an-1+aDn-2)=2an+a2Dn-2 =…=(n一2)an+an-2D2=(n—1)an+an-1D1 =(n一1)an+an-1.2a=(n+1)an。 (Ⅱ)因为方程组有唯一解，所以由Ax=b知｜A｜≠0，又｜A｜=(n+1)an，故a≠0。 根据克拉默法则，将Dn的第一列换成b，得行列式为 [*] (Ⅲ)方程组有无穷多解，由｜A｜=0，得a=0，则方程组Ax=b为 [*] 此时，方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为n一1，所以方程组有无穷多解，其通解为 k(1，0，0，…，0)T+(0，1，0，…，0)T，k为任意常数。
解析
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考研数学三

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