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  3. 设f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0且f(x)=-1．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f’’(ξ)≥8．

设f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0且f(x)=-1．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f’’(ξ)≥8．

admin2018-05-22  77
问题 设f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0且f(x)=-1．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f’’(ξ)≥8．
选项
答案因为f(x)在[0，1]上二阶可导，所以f(x)在[0，1]上连续且f(0)=f(1)=0， [*]f(x)=-1，由闭区间上连续函数最值定理知，f(x)在[0，1]取到最小值且最小值在(0，1)内达到，即存在c∈(0，1)，使得f(c)=-1，再由费马定理知f’(c)=0， 根据泰勒公式 f(0)=f(c)+f’(c)(0-c)+[*](0-c)2，ξ1∈(0，c) f(1)=f(c)+f’(c)(1-c)+[*](1-c)2，ξ2∈(c，1) 整理得 f’’(ξ1)=[*]，f’’(ξ2)=[*] 当c∈[*]时，f’’(ξ1)=[*]≥8，取ξ=ξ1； 当c∈[*]时，f’’(ξ2)=[*]≥8，取ξ=ξ2． 所以存在ξ∈(0，1)，使得f’’(ξ)≥8．
解析
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考研数学二

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