2. 考研
  3. 设而n≥2为正整数，则An－2An－1=___________．

设而n≥2为正整数，则An－2An－1=___________．

admin2019-03-22  25
问题 设而n≥2为正整数，则An－2An－1=___________．
选项
答案O
解析 解一  当n=2时，A2=2A，即A2－2A=O，当n>2时，原式=An－2(A2－2A)=An－2O=O，故当n≥2时，有An－2An－1=O．
    解二  易求得A2=2A=22－1A，A3=A2·A=2A2=2×2A=22A=23－1A，因而An=2n－1A，An－1=2n－2A，则An－2An－1=2n－1A－2·2n－2A=2n－1A－2n－1A=O．
    解三  由于A为实对称矩阵，可用相似对角化求出An．由|λE－A|=λ(λ－2)2得到A的特征值为λ1=λ2=2，λ3=0．
    由于A为实对称矩阵，必存在可逆矩阵P，使P－1AP=diag(2，2，0)=Λ．
于是A=PΛP－1，An=PΛnP－1，2An－1=P(2Λn－1)P－1=PΛnP－1，故An－2An－1=O．
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考研数学三

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