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设而n≥2为正整数,则An-2An-1=___________.
设而n≥2为正整数,则An-2An-1=___________.
admin
2019-03-22
94
问题
设
而n≥2为正整数,则A
n
-2A
n-1
=___________.
选项
答案
O
解析
解一 当n=2时,A
2
=2A,即A
2
-2A=O,当n>2时,原式=A
n-2
(A
2
-2A)=A
n-2
O=O,故当n≥2时,有A
n
-2A
n-1
=O.
解二 易求得A
2
=2A=2
2-1
A,A
3
=A
2
·A=2A
2
=2×2A=2
2
A=2
3-1
A,因而A
n
=2
n-1
A,A
n-1
=2
n-2
A,则A
n
-2A
n-1
=2
n-1
A-2·2
n-2
A=2
n-1
A-2
n-1
A=O.
解三 由于A为实对称矩阵,可用相似对角化求出A
n
.由|λE-A|=λ(λ-2)
2
得到A的特征值为λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=0.
由于A为实对称矩阵,必存在可逆矩阵P,使P
-1
AP=diag(2,2,0)=Λ.
于是A=PΛP
-1
,A
n
=PΛ
n
P
-1
,2A
n-1
=P(2Λ
n-1
)P
-1
=PΛ
n
P
-1
,故A
n
-2A
n-1
=O.
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考研数学三
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