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(07年)设函数f(χ),g(χ)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,又f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明: (Ⅰ)存在η∈(a,b),使得f(η)=g(η); (Ⅱ)存在ξ∈(a,b),使得f〞(ξ
(07年)设函数f(χ),g(χ)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,又f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明: (Ⅰ)存在η∈(a,b),使得f(η)=g(η); (Ⅱ)存在ξ∈(a,b),使得f〞(ξ
admin
2021-01-25
48
问题
(07年)设函数f(χ),g(χ)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,又f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明:
(Ⅰ)存在η∈(a,b),使得f(η)=g(η);
(Ⅱ)存在ξ∈(a,b),使得f〞(ξ)=gξ(ξ).
选项
答案
令φ(χ)=f(χ)-g(χ),以下分两种情况讨论: 1)若f(χ)和g(χ)在(a,b)内的同一点处c∈(a,b)取到其最大值,则φ(c)=f(c)-g(c)=0,又φ(a)=φ(b)=0,由罗尔定理知 [*]ξ
1
∈(a,c),使φ′(ξ
1
)=0;[*]∈(c,b),使φ′(ξ
2
)=0 对φ′(χ)在[ξ
1
,ξ
2
]上用罗尔定理得,[*]ξ∈(ξ
1
,ξ
2
),使φ〞(ξ)=0 2)若f(χ)和g(χ)在(a,b)内不在同一点处取到其最大值,不妨设f(χ)和g(χ)分别在χ
1
和χ
2
(χ
1
<χ
2
)取到其在(a,b)内的最大值,则 φ(χ
1
)=f(χ
1
)-g(χ
1
)>0,φ(χ
2
)=f(χ
2
)-g(χ
2
)<0 由连续函数的介值定理知,[*]c∈(χ
1
,χ
2
),使φ(c)=0.
解析
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考研数学三
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