2. 考研
  3. (07年)设函数f(χ)，g(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，又f(a)＝g(a)，f(b)＝g(b)，证明： (Ⅰ)存在η∈(a，b)，使得f(η)＝g(η)； (Ⅱ)存在ξ∈(a，b)，使得f〞(ξ

(07年)设函数f(χ)，g(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，又f(a)＝g(a)，f(b)＝g(b)，证明： (Ⅰ)存在η∈(a，b)，使得f(η)＝g(η)； (Ⅱ)存在ξ∈(a，b)，使得f〞(ξ

admin2021-01-25  55
问题 (07年)设函数f(χ)，g(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，又f(a)＝g(a)，f(b)＝g(b)，证明：
    (Ⅰ)存在η∈(a，b)，使得f(η)＝g(η)；
    (Ⅱ)存在ξ∈(a，b)，使得f〞(ξ)＝gξ(ξ)．
选项
答案令φ(χ)＝f(χ)－g(χ)，以下分两种情况讨论： 1)若f(χ)和g(χ)在(a，b)内的同一点处c∈(a，b)取到其最大值，则φ(c)＝f(c)－g(c)＝0，又φ(a)＝φ(b)＝0，由罗尔定理知 [*]ξ1∈(a，c)，使φ′(ξ1)＝0；[*]∈(c，b)，使φ′(ξ2)＝0 对φ′(χ)在[ξ1，ξ2]上用罗尔定理得，[*]ξ∈(ξ1，ξ2)，使φ〞(ξ)＝0 2)若f(χ)和g(χ)在(a，b)内不在同一点处取到其最大值，不妨设f(χ)和g(χ)分别在χ1和χ2(χ1＜χ2)取到其在(a，b)内的最大值，则 φ(χ1)＝f(χ1)－g(χ1)＞0，φ(χ2)＝f(χ2)－g(χ2)＜0 由连续函数的介值定理知，[*]c∈(χ1，χ2)，使φ(c)＝0．
解析
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考研数学三

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