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  3. 设f(x)连续，且满足f(x)＝(x－π)2－，求f(x)。

设f(x)连续，且满足f(x)＝(x－π)2－，求f(x)。

admin2020-05-16  16
问题 设f(x)连续，且满足f(x)＝(x－π)2－，求f(x)。
选项
答案令s＝x－t,得f(x)＝(x－π)2－[*]，即 f(x)＝(x－π)2－x[*] ① 现将其转换为微分方程问题。对①式两边求导得 f’(x)＝2(x－π)－[*]， ② 在①式中令x＝π得f(π)＝0。 再对②式求导得f’’(x)＋f(x)＝2。 在②式中令x＝π得f’(π)＝0。 于是问题转化为初值问题[*]其中y＝f(x)。 这是二阶线性常系数微分方程，显然有常数特解y*＝2，于是通解为 y＝C1cosx＋C2sinx＋2。 由[*]解得C1＝2，C2＝0。因此 y＝f(x)＝2cosx＋2。
解析 这是变上限积分的方程，且被积函数含有参变量，因此先进行变量替换。转化为被积函数不含参变量的情形即可。
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考研数学三

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