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设A为n阶实对称矩阵,r(A)=n,Aij是A=(aij)n×n中元素aij的代数余子式(i,j=1,2,…n),二次型f(x1,x2,…,xn)=xixj。 (Ⅰ)记xT=(x1,x2,…,xn),把f(x1,x2,…,xn)=xixj。写成矩阵
设A为n阶实对称矩阵,r(A)=n,Aij是A=(aij)n×n中元素aij的代数余子式(i,j=1,2,…n),二次型f(x1,x2,…,xn)=xixj。 (Ⅰ)记xT=(x1,x2,…,xn),把f(x1,x2,…,xn)=xixj。写成矩阵
admin
2018-04-18
47
问题
设A为n阶实对称矩阵,r(A)=n,A
ij
是A=(a
ij
)
n×n
中元素a
ij
的代数余子式(i,j=1,2,…n),二次型f(x
1
,x
2
,…,x
n
)=
x
i
x
j
。
(Ⅰ)记x
T
=(x
1
,x
2
,…,x
n
),把f(x
1
,x
2
,…,x
n
)=
x
i
x
j
。写成矩阵形式,并证明二次型f(x)的矩阵为A
-1
;
(Ⅱ)二次型g(x)=x
T
Ax与f(x)的规范形是否相同?说明理由。
选项
答案
(Ⅰ)由题设条件, [*] 其中(*)的理由:A是可逆的实对称矩阵,故(A
-1
)
T
=(A
T
)
-1
=A
-1
,因此由实对称的定义知,A
-1
也是实对称矩阵,又由伴随矩阵的性质A
*
A=|A|E,知A
*
=|A|A
-1
,因此A
*
也是实对称矩阵,[*]=A
*
,故(*)成立。 (Ⅱ)因为(A
-1
)
T
AA
-1
=(A
T
)
-1
E=A
-1
,所以由合同的定义知A与A
-1
合同。 由实对称矩阵A与B合同的充要条件:二次型x
T
Ax与x
T
Bx有相同的正、负惯性指数。 可知,g(x)=x
T
Ax与f(x)有相同的正、负惯性指数,故它们有相同的规范形。
解析
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考研数学三
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