设A为n阶实对称矩阵，r(A)=n，Aij是A=(aij)n×n中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，…n)，二次型f(x1，x2，…，xn)=xixj。 (Ⅰ)记xT=(x1，x2，…，xn)，把f(x1，x2，…，xn)=xixj。写成矩阵

admin2018-04-18 55

问题设A为n阶实对称矩阵，r(A)=n，A_ij是A=(a_ij)_n×n中元素a_ij的代数余子式(i，j=1，2，…n)，二次型f(x₁，x₂，…，x_n)=

x_ix_j。
(Ⅰ)记x^T=(x₁，x₂，…，x_n)，把f(x₁，x₂，…，x_n)=

x_ix_j。写成矩阵形式，并证明二次型f(x)的矩阵为A^-1；
(Ⅱ)二次型g(x)=x^TAx与f(x)的规范形是否相同?说明理由。

选项

答案(Ⅰ)由题设条件， [*] 其中(*)的理由：A是可逆的实对称矩阵，故(A^-1)^T=(A^T)^-1=A^-1，因此由实对称的定义知，A^-1也是实对称矩阵，又由伴随矩阵的性质A^*A=｜A｜E，知A^*=｜A｜A^-1，因此A^*也是实对称矩阵，[*]=A^*，故(*)成立。 (Ⅱ)因为(A^-1)^TAA^-1=(A^T)^-1E=A^-1，所以由合同的定义知A与A^-1合同。由实对称矩阵A与B合同的充要条件：二次型x^TAx与x^TBx有相同的正、负惯性指数。可知，g(x)=x^TAx与f(x)有相同的正、负惯性指数，故它们有相同的规范形。

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/RpX4777K

考研数学三

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

设A为n阶实对称矩阵，r(A)=n，Aij是A=(aij)n×n中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，…n)，二次型f(x1，x2，…，xn)=xixj。 (Ⅰ)记xT=(x1，x2，…，xn)，把f(x1，x2，…，xn)=xixj。写成矩阵

考研数学三

设f(x)=(1)证明f(x)是以π为周期的周期函数；(2)求f(x)的值域．

设α1=（1，3，5，一1）T，α2=（2，7，a，4）T，α3=（5，17，一1，7）T．①若α1，α2，α3线性相关，求α．②当a=3时，求与α1，α2，α3都正交的非零向量α4．③设a=3，α4是与α1，α2，α3都正交的非零向量，证明α1，α

已知A是3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量组，满足Aα1=一α1—3α2—3α3，Aα2=4α1+4α2+α3，Aα3=一2α1+3α3．①求A的特征值．②求A的特征向量．③求A*一6E的秩．

对于实数x＞0，定义对数函数lnx=．依此定义试证：(1)ln=－lnx(x＞0)；(2)ln(xy)=lnx+1ny(x＞0,y＞0)．

设A为n阶矩阵，λ1和λ2是A的两个不同的特征值，χ1，χ2是分别属于λ1和λ2的特征向量．证明：χ1+χ2不是A的特征向量．

设三元非齐次线性方程组的系数矩阵A的秩为1，已知η1，η2，η3是它的三个解向量，且η1+η2=[1，2，3]T，η2+η3=[2，－1，1]T，η3+η1=[0，2，0]T，求该非齐次方程的通解．

设A为n阶实矩阵，则对线性方程组(Ⅰ)AX=0和(Ⅱ)ATAX=0，必有()

设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，且Xi服从参数为λi的指数分布，其密度为求P｛X1=min｛X1，X2，…，Xn｝｝．

设A是n阶矩阵，A2=A，r(A)=r，证明A能对角化，并求A的相似标准形．

判别下列正项级数的敛散性：(Ⅰ)，其中{xn}是单调递增而且有界的正数数列．

A．搏出量B．心输出量C．射血分数D．静息心指数在心室扩大、泵血功能减退早期宜选用的评定指标是

治疗腹痛饮食积滞重证，应首选

患者，男，69岁。上腹不适伴反酸、烧心14年，要确诊胃食管反流病最主要的检查是

使会计原则建立在非清算基础之上，为解决资产计价和收益问题提供了基础的假设是()。

基金管理人变更基金份额登记机构的，应当在变更前将变更方案报()备案。

在下列各项预算中，()是编制产品生产成本预算的基础。

某班为了准备茶话会，分别派了甲乙丙丁四个同学去采买糖果点心和小纪念品等。甲买回来的东西，乙全都买了，丙买回的东西包括了乙买的全部，丁买回的东西里也有丙买的东西。由此可以推断：

对题目“最后一瞬间”理解错误的是()。下列文中描述，不能表明歹徒在吴一枪的空枪面前胆战心惊的描述是()。

IPv4版本的因特网A类地址的个数是()。