2. 考研
  3. 设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f(0) + f(1)+f(2)=3,f(3)=1.试证必存在ξ∈(0,3).使f’(ξ)=0.

设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f(0) + f(1)+f(2)=3,f(3)=1.试证必存在ξ∈(0,3).使f’(ξ)=0.

admin2022-09-05  31
问题 设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f(0) + f(1)+f(2)=3,f(3)=1.试证必存在ξ∈(0,3).使f’(ξ)=0.
选项
答案因为f(x)在[0,3]上连续,所以f(x)在[0,2]上连续,且在[0,2]上必有最大值M和最小值m,于是 m≤f(0)≤M，m≤f(1)≤M， m≤ f(2)≤M, 故[*]由介值定理知至少存在一点c∈[0,2]使得 [*] 因为f(c)=1=f(3),且f(x)在[c,3]上连续,在(c,3)内可导,所以由罗尔定理知，必存在ξ∈(c,3)[*](0,3),使f’(ξ)=0.
解析
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考研数学三

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