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设A是4阶方阵，则下列线性方程组是同解方程组的是( )
设A是4阶方阵，则下列线性方程组是同解方程组的是( )
admin
2016-04-14
67
问题
设A是4阶方阵，则下列线性方程组是同解方程组的是( )
选项
A、Ax=0；A
2
x=0．
B、A
2
x=0；A
3
x=0．
C、A
3
x=0；A
4
x=0．
D、A
4
x=0；A
5
x=0．
答案
D
解析
证明(D)成立．由法一易知
用反证法．设A
5
x=0，但A
4
X≠0．
因x，Ax，A
2
x，A
3
x，A
4
x5个4维向量必线性相关，故存在不全为零的数k
0
，k
1
，k
2
，k
3
，k
4
，使得
k
0
x+k
1
Ax+k
2
A
2
x+k
3
A
3
x+k
4
A
4
x=0．(*)
(*)式两边左乘A
4
，得k
0
A
4
x+k
1
A
5
x+k
2
A
6
x+k
3
A
7
x+k
4
A
8
x=0
k
0
A
4
x=0．
因A
4
x≠0，则k
0
=0．将k
0
=0代入(*)式，得k
1
Ax+k
2
A
2
x+k
3
A
3
x+k
4
A
4
x=0．(**)
同理可证得k
1
=0，k
2
=0，k
3
=0，k
4
=0．这和已知5个4维向量线性相关矛盾．故A
5
x=0
A
4
x=
0．故A
5
x=0
A
4
x=0．
(D)是同解方程组，应选(D)．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Ruw4777K
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考研数学一
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