设A是4阶方阵，则下列线性方程组是同解方程组的是( )

admin2016-04-14 43

问题设A是4阶方阵，则下列线性方程组是同解方程组的是( )

选项 A、Ax=0；A²x=0．
B、A²x=0；A³x=0．
C、A³x=0；A⁴x=0．
D、A⁴x=0；A⁵x=0．

答案D

解析证明(D)成立．由法一易知

用反证法．设A⁵x=0，但A⁴X≠0．
因x，Ax，A²x，A³x，A⁴x5个4维向量必线性相关，故存在不全为零的数k₀，k₁，k₂，k₃，k₄，使得
k₀x+k₁Ax+k₂A²x+k₃A³x+k₄A⁴x=0．(*)
(*)式两边左乘A⁴，得k₀A⁴x+k₁A⁵x+k₂A⁶x+k₃A⁷x+k₄A⁸x=0

k₀A⁴x=0．
因A⁴x≠0，则k₀=0．将k₀=0代入(*)式，得k₁Ax+k₂A²x+k₃A³x+k₄A⁴x=0．(**)
同理可证得k₁=0，k₂=0，k₃=0，k₄=0．这和已知5个4维向量线性相关矛盾．故A⁵x=0

A⁴x=
0．故A⁵x=0

A⁴x=0．
(D)是同解方程组，应选(D)．

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考研数学一

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