[2013年] 设A=(aij)是三阶非零矩阵,|A|为A的行列式,Aij为aij的代数余子式,若aij+Aij=0(i,j=1,2,3),则|A|=___________.

admin2019-04-28  34

问题 [2013年]  设A=(aij)是三阶非零矩阵,|A|为A的行列式,Aij为aij的代数余子式,若aij+Aij=0(i,j=1,2,3),则|A|=___________.

选项

答案-1

解析 因aij=-Aij,则(aij)=(-Aij),(aij)T=(-Aij)T=-(Aij),故AT=-A*,从而|A|=|AT|=|-A*|=(-1)3|A|3-1=-|A|2,即|A|2+|A|=|A|(|A|+1)=0,故|A|=0或|A|=-1.
    若|A|=0,则由|A|=ai1Ai1+ai2Ai2+ai3Ai3=(ai12+ai22+ai32)=0(i=1,2,3)得到aij=0(i,j=1,2,3),即矩阵A为零矩阵,这与题设矛盾.故|A|=-1.
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