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  3. 设A为n阶可逆矩阵，A*为A的伴随矩阵，则矩阵AA*的全部特征值为__________，特征向量为______________

设A为n阶可逆矩阵，A*为A的伴随矩阵，则矩阵AA*的全部特征值为__________，特征向量为______________

admin2020-04-30  18
问题 设A为n阶可逆矩阵，A*为A的伴随矩阵，则矩阵AA*的全部特征值为__________，特征向量为______________
选项
答案特征值为λ=｜A｜，特征向量k1e1+k2e2+…+knen，其中e1，e2，…，en为Rn的标准正交基，k1，k2，…，kn是不同时为零的任意常数
解析 本题考查特征值与特征向量的概念和求法．
由于矩阵A可逆，故｜A｜≠0，又因为AA*=｜A｜E，即得｜AA*-｜A｜E｜=0，因此矩阵AA*的全部特征值为λ=｜A｜，是n重特征值．对于λ=｜A｜，λE-AA*=｜A｜E-｜A｜E=O，显然任何一个非零的n维向量都是方程组(λE-AA*)x=0的非零解，从而矩阵AA*的属于λ=｜A｜的特征向量为k1e1+k2e2+…+knen，其中e1，e2，…，en为Rn中的标准正交基，k1，k2，…，kn是不同时为零的任意常数．
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考研数学一

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