设随机变量X和Y相互独立,且X~Y(1,2),Y~N(一3,4),则随机变量Z=一2X+3Y+5的概率密度为f(z)=_________.

admin2018-11-20  28

问题 设随机变量X和Y相互独立,且X~Y(1,2),Y~N(一3,4),则随机变量Z=一2X+3Y+5的概率密度为f(z)=_________.

选项

答案[*]

解析 因为两个相互独立的正态随机变量的线性函数仍然服从正态分布,所以Z=一2X+3Y+5服从正态分布.要求f(z)=,则需确定参数μ与σ的值.又E(Z)=μ,D(Z)=σ2,因此归结为求E(Z)与D(z).根据数学期望和方差的性质及
    E(X)=1,  D(X)=2,  E(Y)=一3,  D(Y)=4,
可得    E(Z)=E(一2X+3Y+5)=一2E(X)+3E(Y)+5
    =(一2)×1+3×(一3)+5=一6,
    D(Z)=D(一2X+3Y+5)=(一2)2D(X)+32D(Y)=4×2+9×4=44.
因此Z的概率密度为
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