[2017年] 设函数在[0,1]上具有二阶导数,且f(1)>0,.证明: 方程f(x)f’’(x)+[f’(x)]2=0在(0,1)内至少有两个不同的实根.

admin2019-04-08  28

问题 [2017年]  设函数在[0,1]上具有二阶导数,且f(1)>0,.证明:
方程f(x)f’’(x)+[f’(x)]2=0在(0,1)内至少有两个不同的实根.

选项

答案由罗尔定理知,存在ξ2∈(0,ξ1),使得f’(ξ2)=0. 构造辅助函数F(x)=f(x)f’(x),则F(0)=F(ξ2)=F(ξ1)=0. 再根据罗尔定理可得,存在η1∈(0,ξ2),η2∈(ξ2,ξ1),使得 F’(η1)=F’(η2)=0.结论得证.

解析
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