2. 考研
  3. [2017年] 设函数在[0，1]上具有二阶导数，且f(1)＞0，．证明： 方程f(x)f’’(x)+[f’(x)]2=0在(0，1)内至少有两个不同的实根．

[2017年] 设函数在[0，1]上具有二阶导数，且f(1)＞0，．证明： 方程f(x)f’’(x)+[f’(x)]2=0在(0，1)内至少有两个不同的实根．

admin2019-04-08  23
问题 [2017年]  设函数在[0，1]上具有二阶导数，且f(1)＞0，．证明：
方程f(x)f’’(x)+[f’(x)]2=0在(0，1)内至少有两个不同的实根．
选项
答案由罗尔定理知，存在ξ2∈(0，ξ1)，使得f’(ξ2)=0． 构造辅助函数F(x)=f(x)f’(x)，则F(0)=F(ξ2)=F(ξ1)=0． 再根据罗尔定理可得，存在η1∈(0，ξ2)，η2∈(ξ2，ξ1)，使得 F’(η1)=F’(η2)=0．结论得证．
解析
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考研数学一

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