[2017年] 设函数在[0，1]上具有二阶导数，且f(1)＞0，．证明：方程f(x)f’’(x)+[f’(x)]2=0在(0，1)内至少有两个不同的实根．

admin2019-04-08 45

问题 [2017年] 设函数在[0，1]上具有二阶导数，且f(1)＞0，

．证明：
方程f(x)f’’(x)+[f’(x)]²=0在(0，1)内至少有两个不同的实根．

选项

答案由罗尔定理知，存在ξ₂∈(0，ξ₁)，使得f’(ξ₂)=0．构造辅助函数F(x)=f(x)f’(x)，则F(0)=F(ξ₂)=F(ξ₁)=0．再根据罗尔定理可得，存在η₁∈(0，ξ₂)，η₂∈(ξ₂，ξ₁)，使得 F’(η₁)=F’(η₂)=0．结论得证．

解析

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考研数学一

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