已知α1，α2，…，αs线性无关，β可由α1，α2，…，αs线性表出，且表达式的系数全不为零．证明：α1，α2，…，αs，β中任意s个向量均线性无关．

admin2021-07-27 24

问题已知α₁，α₂，…，α_s线性无关，β可由α₁，α₂，…，α_s线性表出，且表达式的系数全不为零．证明：α₁，α₂，…，α_s，β中任意s个向量均线性无关．

选项

答案用反证法．设α₁，α₂，…，α_s，β中存在s个向量α₁，α₂，…，α_i-1，α_i+1，…，α_s，β线性相关，则存在不全为零的数k₁，k₂，…，k_i-1，k_i+1，…，k_s，k，使得k₁α₁+…+k_i-1α_i-1+k_i+1α_i+1+…+k_sα_s，kβ=0．另一方面，由题设有β=l₁α₁+l₂α₂+…+l_iα_i+…+l_sα_s，其中l_i≠0，i=1，2，…，s．代入上式，得(k₁+kl₁)α₁+(k₂+kl₂)α₂+…+(k_i-1+kl_i-1)α_i-1+kl_iα_i+(k_i+1+kl_i+1)α_i-1+…+(k_s+kl_s)α_s=0．因α₁，α₂，…，α_s线性无关，从而有kl_i=0，l_i≠0，得k=0，从而得k₁，k₂，…，k_i-1，k_i+1，…，k_s均为零，矛盾．故α₁，α₂，…，α_s，β中任意s个向量均线性无关．

解析

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考研数学二

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已知α1，α2，…，αs线性无关，β可由α1，α2，…，αs线性表出，且表达式的系数全不为零．证明：α1，α2，…，αs，β中任意s个向量均线性无关．

考研数学二

设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，设若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y22+y22

下列命题中①如果矩阵AB=E，则A可逆且A一1=B；②如果n阶矩阵A，B满足(AB)2=E，则(BA)2=E；③如果矩阵A，B均为n阶不可逆矩阵，则A+B必不可逆；④如果矩阵A，B均为n阶不可逆矩阵，则AB必不可逆。正确的是()

n阶矩阵A和B具有相同的特征值是A和B相似的()

微分方程y’’一λ2y=eλx+e-λx(λ＞0)的特解形式为()

已知矩阵A相似于矩阵B＝则秩(A－2E)与秩(A－E)之和等于【】

设A为n阶可逆矩阵，λ为A的特征值，则A*的一个特征值为()．

设n阶矩阵A的伴随矩阵为A，证明：｜A｜=｜A｜n一1。

已知β1，β2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，α1,α2是对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系，k1，k2为任意常数，则方程组Ax=b的通解是()

已知线性方程组的通解为[2，1，0，1]T+k[1，一1，2，0]T．记a=[a1j，a2j，a3j，a4j]T，j=1，2，…，5．问：(1)α4能否由α1，α2，α3，α5线性表出，说明理由；(2)α4能否由α1，α2，α3线

问λ为何值时，线性方程组有解，并求出解的一般形式．

(2010年4月)融资性租赁要求承租方每年给租赁公司交纳租金，租赁期满，机器设备为_____________。

A．前庭大腺B．阴蒂海绵体C．处女膜D．阴蒂头E．前庭球位于阴道口两侧

药学服务的主要实施内容包括()。

直接工程费中的人工费是指（）。

下列选项中，属于契税的征税对象的有()。

新中国成立初期，我国对待富农的政策是()

古希腊哲学家克拉底鲁认为，万物只是一种不可名状的“旋风”，瞬息万变。他拒绝给事物以名称，主张对客观事物“什么都不能说”。其错误在于()

20GB的硬盘表示容量约为()。

Between1852,when【C1】______wasfirstestablishedthatMountEverestwasthehighestmountainonearth,and1953,whenEdmundHi

HowsciencegoeswrongScientificresearchhaschangedtheworld.Nowitneedstochangeitself.[A]Asimpleideaunderlies

已知α1，α2，…，αs线性无关，β可由α1，α2，…，αs线性表出，且表达式的系数全不为零．证明：α1，α2，…，αs，β中任意s个向量均线性无关．

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下列命题中①如果矩阵AB=E，则A可逆且A一1=B；②如果n阶矩阵A，B满足(AB)2=E，则(BA)2=E；③如果矩阵A，B均为n阶不可逆矩阵，则A+B必不可逆；④如果矩阵A，B均为n阶不可逆矩阵，则AB必不可逆。正确的是()

n阶矩阵A和B具有相同的特征值是A和B相似的()

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设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*，证明：｜A*｜=｜A｜n一1。

已知β1，β2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，α1,α2是对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系，k1，k2为任意常数，则方程组Ax=b的通解是()

已知线性方程组的通解为[2，1，0，1]T+k[1，一1，2，0]T．记a=[a1j，a2j，a3j，a4j]T，j=1，2，…，5．问：(1)α4能否由α1，α2，α3，α5线性表出，说明理由；(2)α4能否由α1，α2，α3线

问λ为何值时，线性方程组有解，并求出解的一般形式．

(2010年4月)融资性租赁要求承租方每年给租赁公司交纳租金，租赁期满，机器设备为_____________。

A．前庭大腺B．阴蒂海绵体C．处女膜D．阴蒂头E．前庭球位于阴道口两侧

药学服务的主要实施内容包括()。

直接工程费中的人工费是指（）。

下列选项中，属于契税的征税对象的有()。

新中国成立初期，我国对待富农的政策是()

古希腊哲学家克拉底鲁认为，万物只是一种不可名状的“旋风”，瞬息万变。他拒绝给事物以名称，主张对客观事物“什么都不能说”。其错误在于()

20GB的硬盘表示容量约为()。

Between1852,when【C1】______wasfirstestablishedthatMountEverestwasthehighestmountainonearth,and1953,whenEdmundHi

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设n阶矩阵A的伴随矩阵为A，证明：｜A｜=｜A｜n一1。