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设f(x)是在[a，b]上连续且严格单调的函数，在(a，b)内可导，且f(a)=＜b=f(b)．证明：存在ξi∈(a，b)(i=1，2，…，n)，使得
设f(x)是在[a，b]上连续且严格单调的函数，在(a，b)内可导，且f(a)=＜b=f(b)．证明：存在ξi∈(a，b)(i=1，2，…，n)，使得
admin
2018-05-22
53
问题
设f(x)是在[a，b]上连续且严格单调的函数，在(a，b)内可导，且f(a)=＜b=f(b)．证明：存在ξ
i
∈(a，b)(i=1，2，…，n)，使得
选项
答案
令[*]，因为f(x)在[a，b]上连续且单调增加，且f(a)=a＜b=f(b)， 所以f(a)=a＜a+h＜…＜a+(n-1)h＜b=f(b)，由端点介值定理和函数单调性，存在a＜c
1
＜c
2
＜…＜c
n-1
＜b，使得 f(c
1
)=a+h，f(c
2
)=a+2h，…，f(c
n-1
)=a+(n-1)h．再由微分中值定理，得 f(c
1
)-f(a)=f’(ξ
1
)(c
1
-a)，ξ
1
∈(a，c
1
)，f(c
2
)-f(c
1
)=f’(ξ
2
)(c
2
-c
1
)，ξ
2
∈(c
1
，c
2
)，…f(b)-f(c
n-1
)=f’(ξ
n
)(b-c
n-1
)，ξ
n
∈(c
n-1
，b)， 从而有 [*]
解析
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考研数学二
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