2. 考研
  3. 设 (1)求满足Aξ2＝ξ1，A2ξ3＝ξ1的所有向量ξ2，ξ3； (2)对(1)中的任意向量ξ2，ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3线性无关．

设 (1)求满足Aξ2＝ξ1，A2ξ3＝ξ1的所有向量ξ2，ξ3； (2)对(1)中的任意向量ξ2，ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3线性无关．

admin2014-01-26  77
问题 设
(1)求满足Aξ2＝ξ1，A2ξ3＝ξ1的所有向量ξ2，ξ3；
(2)对(1)中的任意向量ξ2，ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3线性无关．
选项
答案[详解1](1)解方程Aξ2＝ξ1， [*] 由于[*]，取x2为自由未知量，由x2＝0得特解为[*]。 取x2＝1得对应齐次方程组的基础解系为[*]。 故所求ξ2＝k2η＋η*＝k1[*]，其中k1为任意常数． [*] 解得[*] (2)由于｜ξ1，ξ2，ξ3｜＝[*]，故ξ1，ξ2，ξ3线性无关． [详解2](1)解方程 Aξ2＝ξ1， [*] 由于[*]，取x3自由未知量，由x3＝0得特解为[*]， 取x3＝1得对应齐次方程组的基础解系为[*]， 故所求 ξ2＝k1η＋η*＝k1[*]，其中k1为任意常数． 解得[*]，其中k1，k2为任意常数． (2)设存在数k1，k2，k3使得 k1ξ1＋k2ξ2＋k3ξ3＝0 ① 由题设可得Aξ1＝0， ①式两端左乘A得 k2Aξ2＋k3Aξ3＝0，即 k1ξ1＋k3ξ3＝0 ② ②式两端左乘A得 k3Aξ3＝0，即 k3ξ3＝0，于是 k3＝0， 将k3＝0代入②式得 k2ξ1＝0，故 k2＝0，将k2＝K3＝k3＝0代入①式得 k1＝0， 从而ξ1，ξ2，ξ3线性无关．
解析
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考研数学二

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