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设 (1)求满足Aξ2=ξ1,A2ξ3=ξ1的所有向量ξ2,ξ3; (2)对(1)中的任意向量ξ2,ξ3,证明ξ1,ξ2,ξ3线性无关.
设 (1)求满足Aξ2=ξ1,A2ξ3=ξ1的所有向量ξ2,ξ3; (2)对(1)中的任意向量ξ2,ξ3,证明ξ1,ξ2,ξ3线性无关.
admin
2014-01-26
62
问题
设
(1)求满足Aξ
2
=ξ
1
,A
2
ξ
3
=ξ
1
的所有向量ξ
2
,ξ
3
;
(2)对(1)中的任意向量ξ
2
,ξ
3
,证明ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
线性无关.
选项
答案
[详解1](1)解方程Aξ
2
=ξ
1
, [*] 由于[*],取x
2
为自由未知量,由x
2
=0得特解为[*]。 取x
2
=1得对应齐次方程组的基础解系为[*]。 故所求ξ
2
=k
2
η+η
*
=k
1
[*],其中k
1
为任意常数. [*] 解得[*] (2)由于|ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
|=[*],故ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
线性无关. [详解2](1)解方程 Aξ
2
=ξ
1
, [*] 由于[*],取x
3
自由未知量,由x
3
=0得特解为[*], 取x
3
=1得对应齐次方程组的基础解系为[*], 故所求 ξ
2
=k
1
η+η
*
=k
1
[*],其中k
1
为任意常数. 解得[*],其中k
1
,k
2
为任意常数. (2)设存在数k
1
,k
2
,k
3
使得 k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+k
3
ξ
3
=0 ① 由题设可得Aξ
1
=0, ①式两端左乘A得 k
2
Aξ
2
+k
3
Aξ
3
=0,即 k
1
ξ
1
+k
3
ξ
3
=0 ② ②式两端左乘A得 k
3
Aξ
3
=0,即 k
3
ξ
3
=0,于是 k
3
=0, 将k
3
=0代入②式得 k
2
ξ
1
=0,故 k
2
=0,将k
2
=K
3
=k
3
=0代入①式得 k
1
=0, 从而ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
线性无关.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/am34777K
0
考研数学二
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