设x为n维列向量，xTx=1，令H=E一2xxT，证明H是对称的正交矩阵．

admin2020-11-13 73

问题设x为n维列向量，x^Tx=1，令H=E一2xx^T，证明H是对称的正交矩阵．

选项

答案H^T=(E一2xx^T)^T=E一2(xx^T)^T=E一2xx^T=H，因此H为对称阵．又因为 H^TH=H²=(E一2xx^T)(E一2xx^T)=E一4xx^T+4(xx^T)(xx^T) =E一4xx^T+4x(x^Tx)x^T(∵x^Tx=1)=E一4xx^T+4xx^T=E，因此H为正交矩阵．所以H是对称的正交矩阵．

解析

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考研数学三

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