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设向量β可以由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但β不能由向量组α1，α2，…，αm-1线性表示．判断：(1)αm能否由α1，α2，…，αm-1，β线性表示，并说明理由；(2)αm能否由α1，α2，…，αm-1线性表示，并说明理由．
设向量β可以由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但β不能由向量组α1，α2，…，αm-1线性表示．判断：(1)αm能否由α1，α2，…，αm-1，β线性表示，并说明理由；(2)αm能否由α1，α2，…，αm-1线性表示，并说明理由．
admin
2020-06-05
30
问题
设向量β可以由向量组α
1
，α
2
，…，α
m
线性表示，但β不能由向量组α
1
，α
2
，…，α
m-1
线性表示．判断：(1)α
m
能否由α
1
，α
2
，…，α
m-1
，β线性表示，并说明理由；(2)α
m
能否由α
1
，α
2
，…，α
m-1
线性表示，并说明理由．
选项
答案
方法一 (1)α
m
可以由α
1
，α
2
，…，α
m-1
，β线性表示． 事实上，因为β可以由α
1
，α
2
，…，α
m-1
线性表示．不妨设 β＝l
1
α
1
＋…＋l
m-1
α
m-1
＋l
m
α
m
此时必有l
m
≠0，否则β可以由α
1
，α
2
，…，α
m-1
线性表示与已知矛盾，那么 α
m
＝[*](β－l
1
α
1
－…－l
m-1
α
m-1
) 即α
m
可以由α
1
，α
2
，…，α
m-1
，β线性表示． (2)α
m
不能由α
1
，α
2
，…，α
m-1
线性表示． 事实上，如果α
m
能由α
1
，α
2
，…，α
m-1
线性表示，可设 α
m
＝k
1
α
1
＋k
2
α
2
＋…＋k
m-1
α
m-1
将上式代入β＝l
1
α
1
＋…＋l
m-1
α
m-1
＋l
m
α
m
，整理得 β＝(l
1
＋l
m
k
1
)α
1
＋…＋(l
m-1
＋l
m
k
m-1
)α
m-1
这说明β可以由α
1
，α
2
，…，α
m-1
线性表示，与已知矛盾．故α
m
不能由α
1
，α
2
，…，α
m-1
线性表示． 方法二 因为向量β可以由向量组α
1
，α
2
，…，α
m
线性表示，所以 R(α
1
，α
2
…，α
m
)＝R(α
1
，α
2
…，α
m
，β) 又β不能由向量组α
1
，α
2
，…，α
m-1
线性表示，从而 R(α
1
，α
2
…，α
m-1
)＋1＝R(α
1
，α
2
…，α
m-1
，β) 于是 R(α
1
，α
2
，…，α
m
)＝R(α
1
，α
2
，…，α
m
，β)≥R(α
1
，α
2
，…，α
m-1
，β) ＝R(α
1
，α
21
，…，α
m-1
)＋1≥R(α
1
，α
2
，…，α
m
) 从而 R(α
1
，α
2
，…，α
m-1
，β)＝R(α
1
，α
2
，…，α
m
，β)＝R(α
1
，α
2
…，α
m-1
，β，α
m
)即α
m1
可以由α
1
，α
2
，…，α
m-1
，β线性表示． 又 R(α
1
，α
2
，…，α
m-1
)﹤R(α
1
，α
2
，…，α
m-1
)＋1＝R(α
1
，α
2
，…，α
m-1
，α
m
)故而α
m
不能由α
1
，α
2
，…，α
m-1
线性表示．
解析
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考研数学一
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