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设向量β可以由向量组α1,α2,…,αm线性表示,但β不能由向量组α1,α2,…,αm-1线性表示.判断:(1)αm能否由α1,α2,…,αm-1,β线性表示,并说明理由;(2)αm能否由α1,α2,…,αm-1线性表示,并说明理由.
设向量β可以由向量组α1,α2,…,αm线性表示,但β不能由向量组α1,α2,…,αm-1线性表示.判断:(1)αm能否由α1,α2,…,αm-1,β线性表示,并说明理由;(2)αm能否由α1,α2,…,αm-1线性表示,并说明理由.
admin
2020-06-05
21
问题
设向量β可以由向量组α
1
,α
2
,…,α
m
线性表示,但β不能由向量组α
1
,α
2
,…,α
m-1
线性表示.判断:(1)α
m
能否由α
1
,α
2
,…,α
m-1
,β线性表示,并说明理由;(2)α
m
能否由α
1
,α
2
,…,α
m-1
线性表示,并说明理由.
选项
答案
方法一 (1)α
m
可以由α
1
,α
2
,…,α
m-1
,β线性表示. 事实上,因为β可以由α
1
,α
2
,…,α
m-1
线性表示.不妨设 β=l
1
α
1
+…+l
m-1
α
m-1
+l
m
α
m
此时必有l
m
≠0,否则β可以由α
1
,α
2
,…,α
m-1
线性表示与已知矛盾,那么 α
m
=[*](β-l
1
α
1
-…-l
m-1
α
m-1
) 即α
m
可以由α
1
,α
2
,…,α
m-1
,β线性表示. (2)α
m
不能由α
1
,α
2
,…,α
m-1
线性表示. 事实上,如果α
m
能由α
1
,α
2
,…,α
m-1
线性表示,可设 α
m
=k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
m-1
α
m-1
将上式代入β=l
1
α
1
+…+l
m-1
α
m-1
+l
m
α
m
,整理得 β=(l
1
+l
m
k
1
)α
1
+…+(l
m-1
+l
m
k
m-1
)α
m-1
这说明β可以由α
1
,α
2
,…,α
m-1
线性表示,与已知矛盾.故α
m
不能由α
1
,α
2
,…,α
m-1
线性表示. 方法二 因为向量β可以由向量组α
1
,α
2
,…,α
m
线性表示,所以 R(α
1
,α
2
…,α
m
)=R(α
1
,α
2
…,α
m
,β) 又β不能由向量组α
1
,α
2
,…,α
m-1
线性表示,从而 R(α
1
,α
2
…,α
m-1
)+1=R(α
1
,α
2
…,α
m-1
,β) 于是 R(α
1
,α
2
,…,α
m
)=R(α
1
,α
2
,…,α
m
,β)≥R(α
1
,α
2
,…,α
m-1
,β) =R(α
1
,α
21
,…,α
m-1
)+1≥R(α
1
,α
2
,…,α
m
) 从而 R(α
1
,α
2
,…,α
m-1
,β)=R(α
1
,α
2
,…,α
m
,β)=R(α
1
,α
2
…,α
m-1
,β,α
m
)即α
m1
可以由α
1
,α
2
,…,α
m-1
,β线性表示. 又 R(α
1
,α
2
,…,α
m-1
)﹤R(α
1
,α
2
,…,α
m-1
)+1=R(α
1
,α
2
,…,α
m-1
,α
m
)故而α
m
不能由α
1
,α
2
,…,α
m-1
线性表示.
解析
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考研数学一
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