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  3. 设向量β可以由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但β不能由向量组α1，α2，…，αm-1线性表示．判断：(1)αm能否由α1，α2，…，αm-1，β线性表示，并说明理由；(2)αm能否由α1，α2，…，αm-1线性表示，并说明理由．

设向量β可以由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但β不能由向量组α1，α2，…，αm-1线性表示．判断：(1)αm能否由α1，α2，…，αm-1，β线性表示，并说明理由；(2)αm能否由α1，α2，…，αm-1线性表示，并说明理由．

admin2020-06-05  20
问题 设向量β可以由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但β不能由向量组α1，α2，…，αm-1线性表示．判断：(1)αm能否由α1，α2，…，αm-1，β线性表示，并说明理由；(2)αm能否由α1，α2，…，αm-1线性表示，并说明理由．
选项
答案方法一 (1)αm可以由α1，α2，…，αm-1，β线性表示． 事实上，因为β可以由α1，α2，…，αm-1线性表示．不妨设 β＝l1α1＋…＋lm-1αm-1＋lmαm 此时必有lm≠0，否则β可以由α1，α2，…，αm-1线性表示与已知矛盾，那么 αm＝[*](β－l1α1－…－lm-1αm-1) 即αm可以由α1，α2，…，αm-1，β线性表示． (2)αm不能由α1，α2，…，αm-1线性表示． 事实上，如果αm能由α1，α2，…，αm-1线性表示，可设 αm＝k1α1＋k2α2＋…＋km-1αm-1 将上式代入β＝l1α1＋…＋lm-1αm-1＋lmαm，整理得 β＝(l1＋lmk1)α1＋…＋(lm-1＋lmkm-1)αm-1 这说明β可以由α1，α2，…，αm-1线性表示，与已知矛盾．故αm不能由α1，α2，…，αm-1线性表示． 方法二 因为向量β可以由向量组α1，α2，…，αm线性表示，所以 R(α1，α2…，αm)＝R(α1，α2…，αm，β) 又β不能由向量组α1，α2，…，αm-1线性表示，从而 R(α1，α2…，αm-1)＋1＝R(α1，α2…，αm-1，β) 于是 R(α1，α2，…，αm)＝R(α1，α2，…，αm，β)≥R(α1，α2，…，αm-1，β) ＝R(α1，α21，…，αm-1)＋1≥R(α1，α2，…，αm) 从而 R(α1，α2，…，αm-1，β)＝R(α1，α2，…，αm，β)＝R(α1，α2…，αm-1，β，αm)即αm1可以由α1，α2，…，αm-1，β线性表示． 又 R(α1，α2，…，αm-1)﹤R(α1，α2，…，αm-1)＋1＝R(α1，α2，…，αm-1，αm)故而αm不能由α1，α2，…，αm-1线性表示．
解析
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